特殊的邻接表——立方体邻接表:关于链接表的一些特殊情况的考虑
我们在学习图的时候，都知道常用的保存图的方法有邻接矩阵和邻接表。当图中的边的数量相对于顶点的数量较少是，邻接矩阵中会出现许多0值，即形成了稀疏矩阵。这个时候用邻接表来储存图就可以大大减少储存所需的空间，也即是对矩阵进行了“压缩”。
邻接表的本质是一种链式储存结构，它保存的是顶点间的邻接关系，也就是只考虑邻接矩阵中的非零元素。很自然会想到通过链表来构建一个邻接表，这是因为各个顶点通过的边的数量绝大多数不相同，用链表的动态分配内存显然更合理，但是还是存在一种特例：所有的顶点上的边的数量都相同。比如立方体，它有八个顶点，但是每个顶点都有且只有与其邻接的三个顶点，在这种各个顶点邻接顶点的数量相同的情况下，就没有必要用链表来储存，用长度固定的数组显然更方便，我称之为立方体邻接表（Cubic Adjacency List，CAL）。
CAL的定义和邻接表类似，只是各个顶点邻接的顶点数量相同，关于邻接表……大家可以复习以下数据结构课程中的定义。
下面直接以一个问题来阐述立方体邻接矩阵的结构定义和实际运用。
问题描述：
如图所示：
在正方体ABCD-A1B1C1D1 的A点处有一只青蛙（蚂蚁，虫子……什么都行）要跳到C1 点，它每次只能条一步（也就是一条边），当跳满五次或者已经到达目标点时就停止跳动。
（1）求青蛙在5次以内跳到目的点的路线有多少条？
（2）求青蛙所有可能的跳跃方式？
先给出答案，根据排列组合的知识，第一问应该是3X2X1=6条，第二问应该是（33 -6）X3X3+6=195种。下面给出这一题用CAL的源码：
1 /*Question: there is a frog standing in 2 A piont in cube ABCD-A1B1C1D1,it must 3 jump from one place to another within 4 5 jumps,how many ways does it have? 5 */ 6 #include <stdio.h> 7 8 typedef enum {A,B,C,D,A1,B1,C1,D1} vertex; //定义顶点信息的枚举类型 9 10 const vertex cube[8][3]= /*cube[0]={B,A1,D}表示和A点邻接的是B，A1，D点以此类推，这样就构建了一个正方体*/ 11 { 12 {B,A1,D},{A,C,B1},{B,C1,D},{A,C,D1}, 13 {A,D1,B1},{A1,C1,B},{D1,B1,C},{A1,D,C1} 14 }; /* using an adjacency list to store graph*/
15 16 long iCount=0;/* 记录所有可以到达C1点的路线的数量*/ 17 long iTotal=0;/*记录在5次以内到达的路线数（第一问答案）*/ 18 long iSum=0;/*记录所有的路线数（第二问答案）*/ 19 20 void Output(vertex path[],long count,int n);//函数原型，输出路径 21 //output function 22 23 int Traverse(int n, vertex p,vertex path[]);//函数原型，遍历邻接表 24 //core func to traverse graph by recusion 25 26 int main(void) 27 { 28 vertex path[5]={A}; //at most 5 29 vertex p=A;//起点在A点 30 Traverse(0,p,path); //calling，遍历 31 printf("All the number of existing paths : %ld ",iCount); 32 printf("number of thatc an complete the path within five steps :%ld ",iSum); 33 printf("All possible paths :%ld ",iTotal); 34 return 0; 35 } 36 37 void Output(vertex path[],long count,int n)//打印信息 38 { 39 int i; 40 printf("Path %ld :",count); 41 for (i=0;i<=n;++i) 42 { 43 switch (path[i]) 44 { 45 case A : printf("A-->"); break; 46 case B : printf("B-->");break; 47 case C : printf("C-->");break; 48 case D : printf("D-->");break; 49 case A1 : printf("A1-->");break; 50 case B1 : printf("B1-->");break; 51 case C1 : printf("C1 ");break; 52 case D1 : printf("D1-->");break; 53 } 54 } 55 } 56 57 int Traverse(int n,vertex p,vertex path[]) 58 { 59 int i; 60 path[n]=p; 61 if (n==5) //已经跳满五次 62 { 63 ++iTotal; //第三问数量加一 64 if (p==C1) //已经到C1点 65 { 66 Output(path,++iCount,n); //iCount，可以到达的路线数量+1， 67 return 1; 68 } 69 else 70 return 0; 71 } 72 if (p==C1) //五步以内到达C1点 73 { 74 ++iTotal; 75 Output(path,++iCount,n); //输出 76 if (n<5) 77 ++iSum; 78 return 1; 79 } 80 for (i=0;i<3;++i) //没有到，从与某个顶点相邻接的三个点开始进行尝试 81 { 82 Traverse(n+1,cube[(int)p][i],path);//递归调用，遍历邻接表，其中（int）p指的是A～D1点（C语言中枚举类型是整形且默认从0开始） 83 } 84 return 0; 85 }
编译并运行程序后可以发现与数学计算结果吻合（废话！）。由此，我们就成功的用邻接矩阵这种二维的形式保存了三维的立方体。
CAL的用途还有很多，尤其适合解决空间立体图形的问题。但是不管怎样变化，还是那几个常见的算法就可以实现的，简单就是美嘛！