[Luogu 3707] SDOI2017 相关分析

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<题目链接>

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前言

Capella 和 Frank 一样爱好天文学。

她常在冬季的夜晚，若有所思地望着东北方上空的五边形中，最为耀眼的一个顶点。

那一抹金黄曾带给她多少美好的遐想！

直到有一天，她做了这一题，并饱受线段树的折磨。

概述

这是一道区间操作的题目，解法有线段树与分块等。

题主选择线段树进行讲解（因为没用分块写这题）。

准备与计算答案

首先要知道，线段树需要维护的数值有哪些。

先来看题目中所给的公式。

(ar x = frac 1 {r-l+1} sum_{i=l}^r x_i)

(ar y = frac 1 {r-l+1} sum_{i=l}^r y_i)

(hat a = frac{sum_{i=l}^r (x_i - ar x)(y_i - ar y)}{sum_{i=l}^r (x_i - ar x)^2})

将线性回归方程的公式展开得（(sum_{i=l}^r) 省略为 (sum)）：

(hat a = frac{sum (x_i y_i - ar x y_i - ar y x_i + ar x ar y)} {sum (x_i^2 - 2ar x x_i + ar x^2)})

(= frac{sum x_i y_i - ar x sum y_i - ar y sum x_i + (r-l+1) ar x ar y} {sum x_i^2 - 2ar x sum x_i + (r-l+1) ar x^2})

将 (ar x)、(ar y) 代入上式得：

(hat a = frac{sum x_i y_i - frac{sum x_i sum y_i}{r-l+1} - frac{sum x_i sum y_i}{r-l+1} + (r-l+1) frac{sum x_i}{r-l+1} cdot frac{sum y_i}{r-l+1}} {sum x_i^2 - frac{2(sum x_i)^2}{r-l+1} + (r-l+1) (frac{sum x_i}{r-l+1})^2})

(= frac{sum x_i y_i - frac{sum x_i sum y_i}{r-l+1}} {sum x_i^2 - frac{(sum x_i)^2}{r-l+1}})

由此可见，线段树需要维护的数值有 (sum x_i^2)、(sum x_i y_i)、(sum x_i) 以及 (sum y_i)。

设 (v_0 = sum x_i^2, v_1 = sum x_i y_i, v_2 = sum x_i, v_3 = sum y_i)，

则最终计算出的 (hat a = frac{v_1 - frac{v_2 v_3}{r-l+1}}{v_0 - frac{v_2^2}{r-l+1}})。

区间加操作

进行区间加操作时，设 (x) 的变化量为 (S)，(y) 的变化量为 (T)，则各个标记的下传过程如下：

(sum (x_i + S)^2 = sum (x_i^2 + 2Sx_i + S^2))
(= sum x_i^2 + 2S sum x_i + (r-l+1)S^2)

(sum (x_i+S)(y_i+T) = sum (x_i y_i + Sy_i+Tx_i+ST))
(=sum x_i y_i + S sum y_i + T sum x_i + (r-l+1)ST)

(sum (x_i+S) = sum x_i + (r-l+1)S)

(sum (y_i+T) = sum y_i +(r-l+1)T)

特别注意：由于更新 $sum x_i^2 $ 与 (sum x_i y_i) 时，需要用到更新前的 (sum x_i) 与 (sum y_i) 的值，所以应注意顺序。

区间修改操作

前置技能

(1^2 + 2^2 + dots + n^2 = frac {n(n+1)(2n+1)} 6)

转化

试图将区间修改操作转化为区间加操作。

对于 (i in [l,r])，(x_i) 改为 (S+i)，(y_i) 改为 (T+i)，

相当于将 (i in [l,r]) 的每个 (x_i) 与 (y_i) 都改为 (i) ，

(sum x_i^2 = sum y_i^2 = sum i^2 = frac {r(r+1)(2r+1)} 6 - frac {l(l-1)(2l-1)} 6)（即 (sum_{i=1}^r i^2 -sum_{i=1}^{l-1} i^2)）

(sum x_i = sum y_i = sum i = frac {(r-l+1)(l+r)} 2)（(r-l+1) 为区间元素个数，(frac {l+r} 2) 为区间平均值）

然后清空Lazy Tag（无论区间曾经加了多少都没有用，将被统一修改）。

维护操作

清空Lazy Tag后，对区间 ([l,r]) 进行区间加操作，即：每个 (x_i) 加上 (S)，每个 (y_i) 加上 (T)。

更新过程与区间加操作完全相同。

最后还要打上标记c，表示此区间的子区间需要区间修改操作。

注意事项

• 一定记得下传Lazy Tag与c标记，我就是因为没传才调了一上午+一下午+半个晚上的。

• 本题下传标记部分较为复杂，请一定注意顺序。

结束语

这道题有点像《HAOI2012 高速公路》啊。

线段树这种东西，多推一推也就熟悉啦。

加油，各位队友；加油，自己。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int MAXN=100010;
double x[MAXN],y[MAXN];
int n,m;
class SegmentTree
{
    public:
        void Build(int i,int l,int r)
        {
            s[i]=node(l,r);
            if(l==r)
            {
                s[i].v[0]=x[l]*x[l],s[i].v[1]=x[l]*y[r],s[i].v[2]=x[l],s[i].v[3]=y[r];
                return;
            }
            int j=i<<1,mid=l+r>>1;
            Build(j,l,mid),Build(j|1,mid+1,r),PushUp(i);
        }
        void Add(int i,int l,int r,double S,double T)
        {
            if(l==s[i].l && r==s[i].r)
            {
                AddModify(i,S,T);
                return;
            }
            if(s[i].l^s[i].r)
                PushDown(i);
            int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
            if(r<=mid)
                Add(j,l,r,S,T);
            else if(l>mid)
                Add(j|1,l,r,S,T);
            else
                Add(j,l,mid,S,T),Add(j|1,mid+1,r,S,T);
            PushUp(i);
        }
        void Change(int i,int l,int r,double S,double T)
        {
            if(l==s[i].l && r==s[i].r)
            {
                ChangeModify(i),AddModify(i,S,T);
                return;
            }
            if(s[i].l^s[i].r)
                PushDown(i);
            int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
            if(r<=mid)
                Change(j,l,r,S,T);
            else if(l>mid)
                Change(j|1,l,r,S,T);
            else
                Change(j,l,mid,S,T),Change(j|1,mid+1,r,S,T);
            PushUp(i);
        }
        double Ans(double l,double r)
        {
            double size=r-l+1;
            memset(ans,0,sizeof ans);
            Sum(1,l,r);
            return (ans[1]-ans[2]*ans[3]/size)/(ans[0]-ans[2]*ans[2]/size);
        }
    private:
        double ans[4];
        struct node
        {
            bool c;
            double S,T,v[4];
            int l,r;
            node(int _l=0,int _r=0)
            {
                l=_l,r=_r,c=S=T=0;
            }
        }s[MAXN<<2];
        double Calc(double i)
        {
            return i*(i+1)*(2*i+1)/6;
        }
        void AddModify(int i,double S,double T)
        {
            double size=double(s[i].r-s[i].l+1);
            s[i].v[0]+=S*S*size+2*S*s[i].v[2];
            s[i].v[1]+=S*T*size+S*s[i].v[3]+T*s[i].v[2];
            s[i].v[2]+=S*size;
            s[i].v[3]+=T*size;
            s[i].S+=S,s[i].T+=T;
        }
        void ChangeModify(int i)
        {
            double l=double(s[i].l),r=double(s[i].r);
            s[i].v[0]=s[i].v[1]=Calc(r)-Calc(l-1),s[i].v[2]=s[i].v[3]=(r-l+1)*(l+r)/2,s[i].c=1,s[i].S=s[i].T=0;
        }
        void PushUp(int i)
        {
            int l=i<<1,r=l|1;
            for(int k=0;k<4;++k)
                s[i].v[k]=s[l].v[k]+s[r].v[k];
        }
        void PushDown(int i)
        {
            int l=i<<1,r=l|1;
            if(s[i].c)
                ChangeModify(l),ChangeModify(r);
            AddModify(l,s[i].S,s[i].T),AddModify(r,s[i].S,s[i].T);
            s[i].c=s[i].S=s[i].T=0;
        }
        void Sum(int i,int l,int r)
        {
            if(l==s[i].l && r==s[i].r)
            {
                for(int k=0;k<4;++k)
                    ans[k]+=s[i].v[k];
                return;
            }
            if(s[i].l^s[i].r)
                PushDown(i);
            int j=i<<1,mid=s[i].l+s[i].r>>1;
            if(r<=mid)
                Sum(j,l,r);
            else if(l>mid)
                Sum(j|1,l,r);
            else
                Sum(j,l,mid),Sum(j|1,mid+1,r);
        }
}SgT;
int main(int argc,char *argv[])
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lf",&x[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lf",&y[i]);
    SgT.Build(1,1,n);
    for(int i=1,opt,l,r;i<=m;++i)
    {
        double S,T;
        scanf("%d %d %d",&opt,&l,&r);
        switch(opt)
        {
            case 1:
                printf("%.10lf
",SgT.Ans(l,r));
                break;
            case 2:
                scanf("%lf %lf",&S,&T);
                SgT.Add(1,l,r,S,T);
                break;
            case 3:
                scanf("%lf %lf",&S,&T);
                SgT.Change(1,l,r,S,T);
                break;
        }
    }
    return 0;
}

谢谢阅读。