送我校两名学长去女装的题。
题意：给定一棵树，每个节点有一个颜色 (h_i)，(h_i) 为 ([L_i,R_i]) 内的一个整数。对于所有 (prod(R_i-L_i+1)) 种不同的染色方案，求出下列式子之和：(sum_{h_i=h_j,1leq i<jleq n}operatorname{dis}(i,j))。
(nleq 10^5,1leq L_ileq R_ileq 10^5)。答案对大质数取模。
一千个人有一千零一种做法。
记 (len_i=r_i-l_i+1,p=prod_i len_i)。
考虑对每种颜色算贡献。那么颜色 (h) 的贡献为：
(sum_{l_ile hle r_i}sum_{l_jle hle r_j,j<i}dis(i,j)frac{p}{len_ilen_j})
把 ({dis}(i,j)) 拆出来：
(sum_{l_ile hle r_i}sum_{l_jle hle r_j,j<i}[{dep}_i+{dep}_j-2{dep}_{{lca}(i,j)}]frac{p}{len_ilen_j})
把一些东西往前挪：
(sum_{l_ile hle r_i}frac{p}{len_i}sum_{l_jle hle r_j,j<i}[{dep}_i+{dep}_j-2{dep}_{{lca}(i,j)}]frac{1}{len_j})
整理一下：
(sum_{l_ile hle r_i}frac{p}{len_i}[({dep}_isum_{l_jle hle r_j,j<i}frac{1}{len_j})+(sum_{l_jle hle r_j,j<i}frac{{dep}_j}{len_j})-2(sum_{l_jle hle r_j,j<i}frac{{dep}_{{lca}(i,j)}}{len_j})])
从 (1) 到 (100 000) 去枚举 (h)，一个点的贡献自然是在 加入时（(l) 时刻）加上，然后在 删除时（(r) 时刻）减掉。
于是我们要维护右边那三坨东西。前面两个随便维护，第三个采取 这题 的方法维护即可。
使用树剖就是 (O(nlog^2 n)) 的，用 LCT 就是 (O(nlog n))。
于是这题就做完了。
说到树剖，顺便提一下，链加 的时候访问的是若干条重链的一部分，所以只能 (log^2)。
#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int N=1e5+3,M=1e9+7,K=18;
#define Md (L+R>>1)
struct segment_tree{
int s[1<<K],lz[1<<K];
inline void Down(int L,int R,int k){
lz[k<<1]=(lz[k<<1]+lz[k])%M;
lz[k<<1|1]=(lz[k<<1|1]+lz[k])%M;
s[k<<1]=(s[k<<1]+(ll)lz[k]*(Md-L+1))%M;
s[k<<1|1]=(s[k<<1|1]+(ll)lz[k]*(R-Md))%M;
lz[k]=0;
}
int Sum(int l,int r,int L,int R,int k){
if(l>r)return 0;
if(l<=L&&R<=r)return s[k];
Down(L,R,k);
if(l>Md)return Sum(l,r,Md+1,R,k<<1|1);
if(r<=Md)return Sum(l,r,L,Md,k<<1);
return(Sum(l,r,L,Md,k<<1)+Sum(l,r,Md+1,R,k<<1|1))%M;
}
void Add(int l,int r,int a,int L,int R,int k){
if(l>r)return;
if(l<=L&&R<=r){
lz[k]=(lz[k]+a)%M;
s[k]=(s[k]+(ll)a*(R-L+1))%M;
return;
}
Down(L,R,k);
if(l<=Md)Add(l,r,a,L,Md,k<<1);
if(r>Md)Add(l,r,a,Md+1,R,k<<1|1);
s[k]=(s[k<<1]+s[k<<1|1])%M;
}
}t;
struct edge{int v,nxt;}g[N+N];
int n,head[N],k,dep[N],prod,invl[N],inv[N],s,s0,s1,ans,dfn[N],son[N],siz[N],top[N],fa[N];
inline void Insert(int u,int v){g[++k]=(edge){v,head[u]};head[u]=k;}
struct update{
int x,u,f;
bool operator<(const update&b)const{return x<b.x;}
}upd[N+N];
void Dfs(int u){
int v;
siz[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=g[i].nxt)if((v=g[i].v)!=fa[u])
dep[v]=dep[u]+1,fa[v]=u,Dfs(v),siz[u]+=siz[v],son[u]=siz[son[u]]>siz[v]?son[u]:v;
}
void Dfs1(int u){
int v;
dfn[u]=++k,top[u]=top[u]?top[u]:u;
if(son[u])top[son[u]]=top[u],Dfs1(son[u]);
for(int i=head[u];i;i=g[i].nxt)if((v=g[i].v)!=fa[u]&&v!=son[u])
Dfs1(v);
}
inline void Pathadd(int u,int a){
for(;u;u=fa[top[u]])
t.Add(dfn[top[u]==1?son[1]:top[u]],dfn[u],a,1,n,1);
}
inline int Pathsum(int u){
int s=0;
for(;u;u=fa[top[u]])
s=(s+t.Sum(dfn[top[u]==1?son[1]:top[u]],dfn[u],1,n,1))%M;
return s;
}
int main(){
int u,v,l,r,f;
scanf("%d",&n);
inv[1]=1;for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=(ll)inv[M%i]*(M-M/i)%M;
prod=1;
for(u=1;u<=n;u++){
scanf("%d%d",&l,&r);
invl[u]=inv[r-l+1];
prod=(ll)prod*(r-l+1)%M;
upd[u]=(update){l,u,1};
upd[u+n]=(update){r+1,u,M-1};
}
std::sort(upd+1,upd+1+n+n);
for(int i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&u,&v),Insert(u,v),Insert(v,u);
Dfs(1);
k=0,Dfs1(1);
for(int i=1,j=1;i<N;i++){
for(;upd[j].x==i;j++){
u=upd[j].u,f=upd[j].f;
s0=(s0+(ll)invl[u]*f)%M;
s1=(s1+(ll)invl[u]*dep[u]%M*f)%M;
Pathadd(u,(ll)invl[u]*f%M);
s=(s+(ll)f*prod%M*invl[u]%M*(((ll)dep[u]*s0+s1-2*Pathsum(u)%M+M)%M))%M;
}
ans=(ans+s)%M;
}printf("%d
",ans);
return 0;
}