NOIP 2012 同余方程

描述

求关于x的同余方程ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

格式

输入格式

输入只有一行，包含两个正整数a, b，用一个空格隔开。

输出格式

输出只有一行，包含一个正整数x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

样例1

样例输入1[复制]

 

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样例输出1[复制]

 

7

限制

每个测试点1s

提示

对于40%的数据，2 ≤b≤ 1,000； 
对于60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000； 
对于100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

来源

Noip2012提高组复赛Day2T1

　　分析：

　　ax ≡ 1 (mod b) ，可以理解为 ax%b==1%b 因为1%b一定等于1，所以ax%b==1 ，有两种情况：

　　1. ax==1 当a!=1时x不为整数，特判一下就好了(这两天写题给我的一个经验就是，一定要考虑特殊情况，多搞点特判一定没错，比如昨天写的“过河”，S==T的时候特判了，还能给30分的TLE算法多赚10分)

　　2.ax-1==by ，x，y均为整数，移项可得：ax-by==1,由于y的正负不定所以可以最终化为ax+by==1,找到x的最小正整数解即可。。

　　3.显而易见，a，b一定互质，要不然不可能满足次此方程，即gcd(a,b)==1,那么很显然由②可知，直接套用 扩展欧几里得就好了。 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,b,x,y;
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}
int gcd;
int main(){
    cin>>a>>b;
    int x=0,y=0;
    gcd=ex_gcd(a,b,x,y);
    
    if(x>0){
        for(int t=0;;t--){
            if((x+b/gcd*t)<=0){
                cout<<x;
                return 0;
            }
            else{
                x=x+b/gcd*t;
            }
        }
    }
    else{
        for(int t=0;;t++){
            if((x+b/gcd*t)>0){
                x=x+b/gcd*t;
                cout<<x;
                return 0;
            }
        }
    }
    
    return 0;
}