COJ 1208 矩阵快速幂DP

　　题目大意：

f(i) 是一个斐波那契数列 ， 求sum(f(i)^k)的总和

由于n极大，所以考虑矩阵快速幂加速

我们要求解最后的sum[n]

首先我们需要思考

sum[n] = sum[n-1] + f(i+1)^k

那么很显然sum[n-1]是矩阵中的一个元素块

那么f(i+1)^k怎么利用f(i) , f(i-1)来求

f(i+1)^k = （f(i) + f(i-1)) ^ k

假如k = 1 , 可以看出f(i+1） = f(i-1) + f(i) (1,1)

      k = 2 , 可以看出f(i+1)^2 = f(i-1)^2 + 2*f(i-1)*f(i) + f(i)^2 (1 , 2 , 1)

后面只列出前面的因子 k=3          1 , 3 , 3 , 1

　　　　　　　　　　k =4          1, 4 ,6,4,1

　　　　　　　　很容易看出后一行的数是由前一行的数当前列和前一列的相加

那么这里要放入矩阵中思考的就是 f(i-1)^k , f(i-1)^(k-1)*f(i) ...... f(i)^k , sum[i] 这样 k+2 个元素

那么做矩阵快速幂就是利用f(i-1)^k , f(i-1)^(k-1)*f(i) ...... f(i)^k , sum[i]  乘以某一个矩阵得到

f(i)^k , f(i)^(k-1)*f(i+1) ...... f(i+1)^k , sum[i+1]

自己一个个递推就会渐渐利用上述的关系轻松得到这个矩阵

#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;
#define N 100
#define ll long long
const int MOD = 1000000007;
int n , k , l;
int num[N];

struct Matrix{
    int a[N][N];
    Matrix operator*(const Matrix &m) const{
        Matrix ans ;
        for(int i=0 ; i<l ; i++){
            for(int j=0 ; j<l ; j++){
                ans.a[i][j] = 0;
                for(int k=0 ; k<l ; k++){
                    ans.a[i][j] += ((ll)a[i][k] * m.a[k][j])%MOD;
                    ans.a[i][j] %= MOD;
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}st;

Matrix q_pow(Matrix b , int t)
{
    Matrix ans;
    memset(ans.a , 0 , sizeof(ans));
    for(int i=0 ; i<l ; i++) ans.a[i][i] = 1;
    while(t)
    {
        if(t&1) ans = ans*b;
        b = b*b;
        t>>=1;
    }
    return ans;
}

void build_matrix()
{
    memset(st.a , 0 , sizeof(st.a));
    st.a[l-2][0] = 1;
    for(int i=1 ; i<l-1 ; i++){
        for(int j=l-2 , t=0 ; t<=i ; t++,j--){
            st.a[j][i] = st.a[j][i-1]+st.a[j+1][i-1];
        }
    }
    for(int i=0 ; i<l-1 ; i++)
        st.a[i][l-1] = st.a[i][l-2];
    st.a[l-1][l-1] = 1;
}

int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.in" , "r" , stdin);
    #endif // ONLINE_JUDGE
    int T;
    scanf("%d" , &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d" , &n , &k);
        l = k+2;
        build_matrix();
        for(int i=0 ; i<l-1 ; i++){
            num[i] = 1;
        }
        num[l-1] = 2;
        if(n<=2) printf("%d
" , n);
        else{
            Matrix ans = q_pow(st , n-2);
            int ret = 0;
            for(int i=0 ; i<l ; i++){
                ret += num[i]*ans.a[i][l-1]%MOD;
                ret %= MOD;
            }
            printf("%d
" , ret);
        }
    }
    return 0;
}