如何判断两条线段是否相交呢？如果是我们去解决这个问题，用眼睛很容易就看出来了，但是如果用计算机来解决这个问题，该怎么办呢？下面介绍两个方法，这两个方法结合起来就能完美解决这个问题了。
一、快速排斥
对于两条线段，我们以这两条线段为对角线各自作一个矩形，如图所示，如果这两个矩形没有相交的部分那么这两条线段一定不相交，这样我们可以排除一部分不相交的情况了。
那么又该怎么判断这两个矩形是否相交呢？这就比判断线段要简单的多了，若：
·线段1下面的端点高于线段2上面的端点；
·线段1上面的端点低于线段2下面的端点；
·线段1左面的端点位于线段2右面的端点的右边；
·线段1右面的端点位于线段2左面的端点的左边；
那么我们就可以说这两个矩形不相交，即这两个线段不相交，用代码实现如下：
1 bool quick_judge(point a,point b,point c,point d) 2 { 3 if(a.y>c.y||b.y<d.y||a.x>d.x||b.x<c.x) 4 return false; 5 else return true; 6 }
但是仅这一种判断方式无法解决我们的问题，有反例如下图，两矩形相交但是线段并没有相交，这就需要我们用第二种方法来加以辅助。
二、跨立实验
首先简单介绍一下向量的叉乘：
假设有两个二维向量a，b，那么它们的的叉乘结果为a×b=a.x*b.y-b.x*a.y，我们可以通过这个值得到很多有用的性质：
·a，b向量构成的平行四边形的面积。
·如果k>0时，那么a正旋转到b的角度为<180°，如果k<0，那么a正旋转到b的角度为>180°,如果k=0 那么a，b向量平行。
·a，b向量构成的平行四边形的面积。
·如果k>0时，那么a正旋转到b的角度为<180°，如果k<0，那么a正旋转到b的角度为>180°,如果k=0 那么a，b向量平行。
跨立实验用到的就是上面的第二个性质。
我们再来看跨立实验，简单来说，就是两条相交线段，其中一条的两个点一定在另一条的两边，如下图。
那么如何去判断呢，这就需要用到我们上面说到的叉乘了。如在下图中，我们选择线段AB为基准，然后去判断AC×AB与AD×AB是否是同向的，若不是同向的，则证明了B,D两点在线段AB的两边。即
那么如何去判断呢，这就需要用到我们上面说到的叉乘了。如在下图中，我们选择线段AB为基准，然后去判断AC×AB与AD×AB是否是同向的，若不是同向的，则证明了B,D两点在线段AB的两边。即
用代码来实现：
1 bool cross_judge(point a,point b,point c,point d) 2 { 3 const double eps=1e-9; 4 double ac,ad,cb,ca; 5 ac=(c.x-a.x)*(b.y-a.y)-(c.y-a.y)*(b.x-a.x); 6 ad=(d.x-a.x)*(b.y-a.y)-(d.y-a.y)*(b.x-a.x); 7 ca=(a.x-c.x)*(d.y-c.y)-(a.y-c.y)*(d.x-c.x); //保险起见，把另一条边也判断一下 8 cb=(b.x-c.x)*(d.y-c.y)-(b.y-c.y)*(d.x-c.x); 9 if(ac*ad<eps&&ca*cb<eps) return true; 10 else return false; 11 }
至此，我们将这两个方法结合一下，就可以解决我们的问题了。
三、相关题目
1.例题 ZOJ P1648
1 #include <bits/stdc++.h> 2 3 using namespace std; 4 5 const double eps=1e-9; 6 7 struct segment 8 { 9 double x1,x2,y1,y2; 10 }seg[2005]; 11 12 bool judge(segment a,segment b) 13 { 14 if(min(a.x1,a.x2)<max(b.x1,b.x2)&&max(a.x1,a.x2)>min(b.x1,b.x2)&&min(a.y1,a.y2)<max(b.y1,b.y2)&&max(a.y1,a.y2)>min(b.y1,b.y2)) 15 { 16 double v1,v2,v3,v4; 17 v1=(b.x1-a.x1)*(a.y2-a.y1)-(b.y1-a.y1)*(a.x2-a.x1); 18 v2=(b.x2-a.x1)*(a.y2-a.y1)-(b.y2-a.y1)*(a.x2-a.x1); 19 v3=(a.x1-b.x1)*(b.y2-b.y1)-(a.y1-b.y1)*(b.x2-b.x1); 20 v4=(a.x2-b.x1)*(b.y2-b.y1)-(a.y2-b.y1)*(b.x2-b.x1); 21 if(v1*v2<eps&&v3*v4<eps) return true; 22 else return false; 23 } 24 else return false; 25 } 26 27 int main() 28 { 29 int i,j,n,flag=0; 30 while(~scanf("%d",&n)) 31 { 32 flag=0; 33 for(i=0;i<n;i++) scanf("%lf%lf%lf%lf",&seg[i].x1,&seg[i].y1,&seg[i].x2,&seg[i].y2); 34 for(i=0;i<n;i++) 35 for(j=i+1;j<n;j++) 36 { 37 if(judge(seg[i],seg[j])) 38 { 39 flag=1; 40 break; 41 } 42 } 43 if(flag) printf("burned! "); 44 else printf("ok! "); 45 } 46 return 0; 47 }
Author : Houge Date : 2019.5.31
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