K

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Source : 第十届山东省ACM省赛

Problem Link : ZOJ 4123

Author : Houge　　Date : 2019-5-24

　　看了快一周的k题，看了好多题解，还是不明白，只恨自己不是数论大佬。昨天看了本校数竞大佬Ch_3225的题解，感觉还不错，和我目前看过的都不太一样（但还是看不懂）。征得同意后，这里就直接copy上来了。

（注意：在此篇题解中，为码字方便，记a^b为a的b次方，而不是c语言定义的异或运算。优先级以幂的运算优先级为准。）

（“|”符号为整除符号，即右边的数➗左边的数得到整数）

题目大意：

　　即求x∈{1,2,.....,2^p}使得a^x≡x^a(mod 2^p)。

分析：

　　要求式为了找到x的个数，我们考虑什么样的x满足上述方程。

　　·变形，原式即为2^p|abs(a^x-x^a)。  （①式）

　　·记abs(a^x-x^a)为R。

我们考虑a^x-x^a的2的幂次。为了从右式通过提取因子提出尽可能多的2，我们设：

　　·a=a0*2^i;

　　·x=x0*2^j;

其中a0和x0都是奇数。

于是代入①式，2^p|abs((a0*2^i)^(x0*2^j)-(x0*2^j)^(a0*2^i))

于是    R=2^(min((i*x0*2^j),(j*a0*2^i)))*p;(x!=a)(p是某个奇数)

或    R=0;(x==a)

即    R=2^(min((i*x),(j*a)))*p;(x!=a)(p是某个奇数)

或    R=0;(x==a)

当x!=a的时候，我们想要使x满足该方程，需要

    2^p|2^(min((i*x),(j*a)))*p;(p是某个奇数)

即  p<=min(i*x,j*a)

即  i*x>=p且j*a>=p  ②式

因为我们要找的是合法的x，并且我们设的j也和x有关，于是我们将上式变形：

　　x>=⌈p/i⌉且j>=⌈p/a⌉

　　这两个式子是说，x（提醒一下x!=a，x==a一会再另算)要满足要求式必须是在[⌈p/x⌉,2^p]区间内并且被2^⌈p/a⌉整除的整数.

　　值得注意的是，如果i=0，即a为奇数，我们回到式②，发现i*x不可能大于等于②，从而没有x!=a满足要求式。对于这种特殊的情况，可以设下边说的那个X在这种情况下为0。

　　这样想想，这个问题变成了求一个区间里有多少个某个数的倍数这种问题，就比较显然了。

　　满足条件的x!=a的x有X=(2^p/2^⌈p/a⌉-(⌈(p+i-1)/i⌉-1)/2^⌈p/a⌉)个。

　　当然，对于x==a的情况，我们单独算一下，是不是已经满足式X，或者不符合x在定义域内的要求。

　　如果x符合在定义域内的要求并且不满足式②的话，那么Y=1;否则Y=0。

　　我们要求的数就是X+Y了。计算输出它即可。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long pingfanmi(long long a,long long b)
{
    long long d=b,sum=1;
    while(d--)sum*=a;
    return sum;
}
int main()
{
    int T;
    long long a,i,p,temp,s,r,sum;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        sum=0;
        scanf("%lld%lld",&a,&p);
        s=pingfanmi(2,p);
        r=pingfanmi(2,(p+a-1)/a);
        temp=a;
        for(i=0;temp%2==0;i++,temp/=2);
        if(i==0)
        {
            printf("1
");
            continue;
        }
        sum=(s/r-((p+i-1)/i-1)/r);
        if(a%r==0&&a<p/i)sum++;
        printf("%lld
",sum);
    }
    return 0;
}
//别问我为什么没用快速幂，我懒