【BZOJ4712】洪水
Description
小A走到一个山脚下,准备给自己造一个小屋。这时候,小A的朋友(op,又叫管理员)打开了创造模式,然后飞到山顶放了格水。于是小A面前出现了一个瀑布。作为平民的小A只好老实巴交地爬山堵水。那么问题来了:我们把这个瀑布看成是一个n个节点的树,每个节点有权值(爬上去的代价)。小A要选择一些节点,以其权值和作为代价将这些点删除(堵上),使得根节点与所有叶子结点不连通。问最小代价。不过到这还没结束。小A的朋友觉得这样子太便宜小A了,于是他还会不断地修改地形,使得某个节点的权值发生变化。不过到这还没结束。小A觉得朋友做得太绝了,于是放弃了分离所有叶子节点的方案。取而代之的是,每次他只要在某个子树中(和子树之外的点完全无关)。于是他找到你。
Input
输入文件第一行包含一个数n,表示树的大小。
接下来一行包含n个数,表示第i个点的权值。
接下来n-1行每行包含两个数fr,to。表示书中有一条边(fr,to)。
接下来一行一个整数,表示操作的个数。
接下来m行每行表示一个操作,若该行第一个数为Q,则表示询问操作,后面跟一个参数x,表示对应子树的根;若为C,则表示修改操作,后面接两个参数x,to,表示将点x的权值加上to。
n<=200000,保证任意to都为非负数
Output
对于每次询问操作,输出对应的答案,答案之间用换行隔开。
Sample Input
4
4 3 2 1
1 2
1 3
4 2
4
Q 1
Q 2
C 4 10
Q 1
4 3 2 1
1 2
1 3
4 2
4
Q 1
Q 2
C 4 10
Q 1
Sample Output
3
1
4
1
4
题解:设每个点的DP值是f[x],每个点儿子的f之和为g[x],f[x]=min(g[x],v[x])。发现,由于v[x]只能变大,所以每次操作可能导致一些点从选g[x]变成选v[x],但只能导致一个点从选v[x]变成选g[x],所以对于从选v变成选g或从选g变成选v的,我们都可以暴力搞定(均摊的思想)。具体做法:
先改v[x],如果v[x]的增长导致了f[x]的改变,则令它父亲的g值+=改变值,然后递归它的父亲:
先让当前的g值+=该变量,如果f不变,则结束;如果原来选g,改完变成选v,那么记录该变量,继续修改它的父亲;如果原来选g,改完还是选g,那么一定是:当前点的连续几辈祖先都是原来选g改完也选g,那么我们二分找到深度最小的祖先,然后中间的g值都能用线段树直接修改。然后再继续修改这个祖先的父亲即可。
那么二分的过程具体如何实现呢?需要用线段树维护v[x]-g[x]的最小值,然后再树剖的时候,先判断当前链的链顶是否符合要求,如果不是,则在链内二分,否则在直接跳到下一条链上。
这样就保证了时间复杂度是$O(nlog_n^2)$的。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #define lson x<<1 #define rson x<<1|1 using namespace std; const int maxn=200010; typedef long long ll; int n,m,cnt; int to[maxn<<1],next[maxn<<1],head[maxn],p[maxn],Q[maxn],dep[maxn],fa[maxn],top[maxn],siz[maxn],son[maxn]; char str[5]; ll sv[maxn<<2],ts[maxn<<2],sc[maxn<<2],v[maxn],g[maxn]; inline void add(int a,int b) { to[cnt]=b,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++; } void dfs1(int x) { siz[x]=1; for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i]) if(to[i]!=fa[x]) { fa[to[i]]=x,dep[to[i]]=dep[x]+1,dfs1(to[i]),siz[x]+=siz[to[i]]; if(siz[to[i]]>siz[son[x]]) son[x]=to[i]; g[x]+=min(g[to[i]],v[to[i]]); } if(siz[x]==1) g[x]=1<<30; } void dfs2(int x,int tp) { p[x]=++p[0],Q[p[0]]=x,top[x]=tp; if(son[x]) dfs2(son[x],tp); for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i]) if(to[i]!=fa[x]&&to[i]!=son[x]) dfs2(to[i],to[i]); } inline void pushdown(int x) { if(ts[x]) sc[lson]-=ts[x],sc[rson]-=ts[x],ts[lson]+=ts[x],ts[rson]+=ts[x],ts[x]=0; } void build(int l,int r,int x) { if(l==r) { sv[x]=v[Q[l]],sc[x]=v[Q[l]]-g[Q[l]]; return ; } int mid=(l+r)>>1; build(l,mid,lson),build(mid+1,r,rson); sv[x]=min(sv[lson],sv[rson]),sc[x]=min(sc[lson],sc[rson]); } ll getg(int l,int r,int x,int a) { if(l==r) return sv[x]-sc[x]; pushdown(x); int mid=(l+r)>>1; if(a<=mid) return getg(l,mid,lson,a); return getg(mid+1,r,rson,a); } ll getv(int l,int r,int x,int a,int b) { if(l==r) return sv[x]; pushdown(x); int mid=(l+r)>>1; if(b<=mid) return getv(l,mid,lson,a,b); if(a>mid) return getv(mid+1,r,rson,a,b); return min(getv(l,mid,lson,a,b),getv(mid+1,r,rson,a,b)); } ll getc(int l,int r,int x,int a,int b) { if(a<=l&&r<=b) return sc[x]; pushdown(x); int mid=(l+r)>>1; if(b<=mid) return getc(l,mid,lson,a,b); if(a>mid) return getc(mid+1,r,rson,a,b); return min(getc(l,mid,lson,a,b),getc(mid+1,r,rson,a,b)); } void upg(int l,int r,int x,int a,int b,ll c) { if(a<=l&&r<=b) { if(c==-1) sc[x]+=v[Q[l]]-sv[x],sv[x]=v[Q[l]]; else sc[x]-=c,ts[x]+=c; return ; } pushdown(x); int mid=(l+r)>>1; if(a<=mid) upg(l,mid,lson,a,b,c); if(b>mid) upg(mid+1,r,rson,a,b,c); sv[x]=min(sv[lson],sv[rson]),sc[x]=min(sc[lson],sc[rson]); } inline void change(int x,ll d) { while(x) { ll gx=getg(1,n,1,p[x]),fx=min(gx,v[x]); upg(1,n,1,p[x],p[x],d); if(gx>=v[x]) return ; if(gx+d>v[x]) d=v[x]-fx,x=fa[x]; else { if(top[x]==x) x=fa[x]; else if(getc(1,n,1,p[top[x]],p[x]-1)>=d) { upg(1,n,1,p[top[x]],p[x]-1,d); x=fa[top[x]]; } else { int l=p[top[x]],r=p[x],mid; while(l<r) { mid=(l+r)>>1; if(getc(1,n,1,mid,p[x]-1)>=d) r=mid; else l=mid+1; } if(r<p[x]) upg(1,n,1,r,p[x]-1,d); x=Q[r-1]; } } } } inline int rd() { int ret=0,f=1; char gc=getchar(); while(gc<'0'||gc>'9') {if(gc=='-') f=-f; gc=getchar();} while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar(); return ret*f; } int main() { n=rd(); int i,a,b; for(i=1;i<=n;i++) v[i]=rd(); memset(head,-1,sizeof(head)); for(i=1;i<n;i++) a=rd(),b=rd(),add(a,b),add(b,a); dep[1]=1,dfs1(1),dfs2(1,1); m=rd(); build(1,n,1); for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%s",str); if(str[0]=='C') { a=rd(),b=rd(); ll gx=getg(1,n,1,p[a]),fx=min(gx,v[a]); v[a]+=b,upg(1,n,1,p[a],p[a],-1); if(min(v[a],gx)>fx) change(fa[a],min(v[a],gx)-fx); } else a=rd(),printf("%lld ",min(v[a],getg(1,n,1,p[a]))); } return 0; }//4 4 3 2 1 1 2 1 3 4 2 4 Q 1 Q 2 C 4 10 Q 1