【BZOJ4908】[BeiJing2017]开车 分块

【BZOJ4908】[BeiJing2017]开车

Description

你有n辆车，分别a1, a2, ..., an位置和n个加油站，分别在b1, b2, ... ,bn 。每个加油站只能支持一辆车的加油，所以你要把这些车开到不同的加油站加油。一个车从x位置开到y位置的代价为 |x-y| ，问如何安排车辆，使得代价之和最小。同时你有q个操作，每次操作会修改第i辆车的位置到x，你要回答每次修改操作之后最优安排方案的总代价。

Input

第一行一个正整数n，接下来一行n个整数a1, a2, ...,an，接下来一行n个整数b1, b2,... ,bn。

接下来一行一个正整数q，表示操作的个数。

接下来q行，每行有两个整数i(1 ≤ i ≤ n)和x，表示将i这辆车开到x位置的操作。

1 ≤ n, q ≤ 5 * 10^4，所有的车和加油站的范围一直在0到10^9之间。

Output

共q+1行，第一行表示一开始的最优代价。接下来q行，第i行表示操作i之后的最优代价。

Sample Input

2
1 2
3 4
1
1 3

Sample Output

4
2
【样例解释】
一开始将第一辆车开到位置4，将第二辆车开到位置3，代价为 |4-1|+|3-2|=4。
修改后第一辆车的位置变成3，代价为 |3-3|+|4-2|=2。

题解：首先不考虑修改操作，最优方案一定是：将车和加油栈按坐标排序，第i辆车去第i个加油站。那么答案如何表示？一种神奇的方法就是：将车看成+1，加油站看成-1，求前缀和s[i]，ans=∑|s[i]|*(pos[i+1]-pos[i])。

那么如何维护ans和s[i]呢？考虑分块。修改小块时可以暴力维护，修改整块时，假设要将当前块内的所有s[i]++，那么我们先给整块打标记，然后ans+=(所有s[i]>=0的)（pos[i+1]-pos[i]）-（所有s[i]<0的）(pos[i+1]-pos[i])。那么就在修改小块时，维护一下有多少个s[i]<=j就行了。

细节：

1.将打标记和前缀和结合起来比较麻烦，我们可以令一个块的标记=这个块之前所有元素的前缀和，然后令s[i]=当前块中的前缀和。那么一个元素的真正前缀和就是：标记+s。

2.求有多少个s[i]<=j可以用基数排序。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn=150009;
typedef long long ll;
int n,m,nm,B;
ll ans;
int pos[maxn],s[maxn],v[maxn],q1[maxn],q2[maxn],p[500][1000],ts[500],sum[500];
ll ref[maxn],st[500][1000];
int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<'0'||gc>'9')	{if(gc=='-')f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>='0'&&gc<='9')	ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();
	return ret*f;
}
struct node
{
	int val,org;
}num[maxn];
bool cmp(node a,node b)
{
	return a.val<b.val;
}
void tsort(int x)
{
	int i;
	for(i=0;i<=2*B;i++)	st[x][i]=0;
	for(i=x*B;i<x*B+B;i++)	st[x][s[i]]+=ref[i+1]-ref[i];
	for(i=1;i<=2*B;i++)	st[x][i]+=st[x][i-1];
}
ll z(ll x)
{
	return x>0?x:-x;
}
int main()
{
	n=rd();
	int i,j,a,b,c,d,e;
	ll tmp;
	for(i=1;i<=n;i++)	num[i].org=i,num[i].val=rd();
	for(i=n+1;i<=2*n;i++)	num[i].org=i,num[i].val=rd();
	m=rd();
	for(i=n+n+1;i<=n+n+m;i++)	num[i].org=i,q1[i-n-n]=rd(),num[i].val=rd();
	sort(num+1,num+n+n+m+1,cmp);
	num[0].val=-1<<30;
	for(i=1;i<=n+n+m;i++)
	{
		if(num[i].val>num[i-1].val)	ref[nm++]=num[i].val;
		q2[num[i].org]=nm-1;
	}
	B=ceil(sqrt(nm));
	for(i=1;i<=n;i++)	v[q2[i]]++,pos[i]=q2[i];
	for(i=n+1;i<=2*n;i++)	v[q2[i]]--;
	for(i=0;i<nm;i++)
	{
		if(i%B==0)
		{
			if(i)	ts[i/B]=ts[i/B-1]+s[i-1]-B;
			s[i]=B+v[i];
		}
		else	s[i]=s[i-1]+v[i];
		if(s[i]+ts[i/B]!=B)
		{
			tmp=z(s[i]+ts[i/B]-B)*(ref[i+1]-ref[i]);
			ans+=tmp,sum[i/B]+=tmp;
		}
	}
	ref[nm]=ref[nm-1];
	for(i=0;i*B<nm;i++)	tsort(i);
	printf("%lld
",ans);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		a=pos[q1[i]],b=q2[i+n+n],e=-1,v[a]--,v[b]++,pos[q1[i]]=b;
		if(a>b)	swap(a,b),e=1;
		c=a/B,d=b/B;
		ans-=sum[c],sum[c]=0;
		for(j=c*B;j<c*B+B&&j<nm;j++)
		{
			if(j==c*B)	s[j]=B+v[j];
			else	s[j]=s[j-1]+v[j];
			if(s[j]+ts[c]!=B)
			{
				tmp=z(s[j]-B+ts[c])*(ref[j+1]-ref[j]);
				ans+=tmp,sum[c]+=tmp;
			}
		}
		tsort(c);
		if(c==d)
		{
			printf("%lld
",ans);
			continue;
		}
		ts[d]+=e,ans-=sum[d],sum[d]=0;
		for(j=d*B;j<d*B+B&&j<nm;j++)
		{
			if(j==d*B)	s[j]=B+v[j];
			else	s[j]=s[j-1]+v[j];
			if(s[j]+ts[d]!=B)
			{
				tmp=z(s[j]-B+ts[d])*(ref[j+1]-ref[j]);
				ans+=tmp,sum[d]+=tmp;
			}
		}
		tsort(d);
		for(j=c+1;j<d;j++)
		{
			if(e==1)
			{
				tmp=st[j][B*2]-((B-ts[j]-1>=0)?(2*st[j][B-ts[j]-1]):0);
				ans+=tmp,sum[j]+=tmp,ts[j]++;
			}
			else
			{
				tmp=-st[j][B*2]+((B-ts[j]>=0)?(2*st[j][B-ts[j]]):0);
				ans+=tmp,sum[j]+=tmp,ts[j]--;
			}
		}
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}