【BZOJ3551】[ONTAK2010]Peaks加强版 最小生成树+DFS序+主席树

【BZOJ3545】[ONTAK2010]Peaks

Description

在Bytemountains有N座山峰，每座山峰有他的高度h_i。有些山峰之间有双向道路相连，共M条路径，每条路径有一个困难值，这个值越大表示越难走，现在有Q组询问，每组询问询问从点v开始只经过困难值小于等于x的路径所能到达的山峰中第k高的山峰，如果无解输出-1。

Input

第一行三个数N，M，Q。
第二行N个数，第i个数为h_i
接下来M行，每行3个数a b c，表示从a到b有一条困难值为c的双向路径。
接下来Q行，每行三个数v x k，表示一组询问。

Output

对于每组询问，输出一个整数表示答案。

Sample Input

10 11 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 4
2 5 3
9 8 2
7 8 10
7 1 4
6 7 1
6 4 8
2 1 5
10 8 10
3 4 7
3 4 6
1 5 2
1 5 6
1 5 8
8 9 2

Sample Output

6
1
-1
8

HINT

【数据范围】

N<=10^5, M,Q<=5*10^5，h_i,c,x<=10^9。

【BZOJ3551】[ONTAK2010]Peaks加强版

题意：同3545，强制在线

题解：3545：这道题我们很容易想到用最小生成树，然后离线来搞。将询问按照x排序，在最小生成树加边的过程中，每加一条边就把所有x小于当前边权的询问处理掉。求第k大可以用Treap搞定，将并查集合并时也将Treap进行启发式合并（把小的Treap暴力拆掉，一个一个加到大的中去），不过我有点懒得写了。

3551：既然是强制在线我们就不能用Treap搞了，但最小生成树是一定要求的。本题利用到了Kruskal重构树的性质（什么是Kurskal重构树？）

在并查集合并的时候，我们不直接令f[a]=b，而是新建一个点ext，将a和b都合并到以ext为根的并查集上，并且令ext的点权等于e(a,b)的边权，这样我们就得到了一棵Kruskal重构树，本题的Kruskal重构树如下图所示

容易发现，Kruskal重构树满足：子节点的边权一定小于父亲节点的边权。于是我们可以用倍增求出v的深度最小的、且满足边权不超过x的祖先，因此满足所有到v路径上最大边权不超过x的节点，一定就在这棵子树上，然后询问就变成了求这棵子树中的第k大。为此我们只需要用DFS序，然后就可以将求子树的第k大转变成求一段区间中的第k大，这样跑一遍主席树就行了。

再捋一下思路：先离散化（因为是10^9），在跑Kruskal，顺便建树，然后预处理倍增，求出DFS序，再预处理主席树，最后在线处理询问

由于本人比较懒我就直接用3551的代码改一改就把3545交了，但其实写一发Treap也是挺好的

至于TLE的建议写个读入优化吧，没准就AC了。

3551代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=200010;
int n,m,Q,cnt,tot,sum,H,ans;
struct edge
{
    int pa,pb,len;
}p[500010];
struct node
{
    int siz,ls,rs;
}s[4000000];
struct NUM
{
    int num,org;
}v[maxn];
int h[maxn],f[maxn],bel[maxn],fa[maxn][20],dp[maxn][20],Log[maxn],to[maxn],next[maxn],root[maxn];
int qx[maxn],qy[maxn],qz[maxn],ql[maxn],qr[maxn],q[maxn],rx[maxn],rh[maxn],head[maxn];
bool cmp1(edge a,edge b)
{
    return a.len<b.len;
}
bool cmp2(NUM a,NUM b)
{
    return a.num<b.num;
}
int readin()
{
    int ret=0,f=1;    char gc=getchar();
    while(gc<'0'||gc>'9'){if(gc=='-')f=-f;    gc=getchar();}
    while(gc>='0'&&gc<='9')    ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();
    return ret*f;
}
int find(int x)
{
    if(f[x]!=x)    f[x]=find(f[x]);
    return f[x];
}
void add(int a,int b)
{
    if(b==0)    return ;
    to[cnt]=b;
    next[cnt]=head[a];
    head[a]=cnt++;
}
void dfs(int x)
{
    ql[x]=q[0];
    if(head[x]==-1)    q[++q[0]]=x;
    for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i])    dfs(to[i]);
    qr[x]=q[0];
}
void RMQ()
{
    int i,j;
    for(i=2;i<=2*n;i++)    Log[i]=Log[i>>1]+1;
    for(j=1;(1<<j)<=2*n;j++)
        for(i=1;i+(1<<j)-1<=2*n;i++)
            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
}
void insert(int x,int &y,int l,int r,int pos)
{
    y=++tot;
    if(l==r)
    {
        s[y].siz=s[x].siz+1;
        return ;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(pos<=mid)    s[y].rs=s[x].rs,insert(s[x].ls,s[y].ls,l,mid,pos);
    else    s[y].ls=s[x].ls,insert(s[x].rs,s[y].rs,mid+1,r,pos);
    s[y].siz=s[s[y].ls].siz+s[s[y].rs].siz;
}
void query(int x,int y,int l,int r,int pos)
{
    if(l==r)
    {
        ans=rh[l];
        return ;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(s[s[y].rs].siz-s[s[x].rs].siz>=pos)    return query(s[x].rs,s[y].rs,mid+1,r,pos);
    return query(s[x].ls,s[y].ls,l,mid,pos-s[s[y].rs].siz+s[s[x].rs].siz);
}
int main()
{
    n=readin(),m=readin(),Q=readin();
    memset(head,-1,sizeof(head));
    int i,j,a,b,c;
    for(i=1;i<=n;i++)    v[i].num=readin(),v[i].org=i;
    sort(v+1,v+n+1,cmp2);
    rh[H]=-1;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(rh[H]<v[i].num)    rh[++H]=v[i].num;
        h[v[i].org]=H;
    }
    for(i=1;i<=m;i++)    p[i].pa=readin(),p[i].pb=readin(),p[i].len=readin();
    sort(p+1,p+m+1,cmp1);
    for(i=1;i<2*n;i++)    f[i]=i;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        a=find(p[i].pa),b=find(p[i].pb);
        if(a!=b)
        {
            sum++;
            add(sum+n,a),add(sum+n,b);
            f[a]=f[b]=sum+n;
            fa[a][0]=fa[b][0]=sum+n;
            rx[sum]=p[i].len;
            if(sum==n-1)    break;
        }
    }
    dfs(sum+n);
    for(i=1;i<=n;i++)    insert(root[i-1],root[i],1,H,h[q[i]]);
    RMQ();
    for(i=1;i<=Q;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        a^=ans,b^=ans,c^=ans;
        int temp=a;
        for(j=Log[2*n];j>=0;j--)
            if(fa[temp][j]&&rx[fa[temp][j]-n]<=b)
                temp=fa[temp][j];
        if(c>qr[temp]-ql[temp])
        {
            printf("-1
");
            ans=0;
            continue;
        }
        query(root[ql[temp]],root[qr[temp]],1,H,c);
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}