如下图，在神经元中，输入的 inputs 通过加权，求和后，还被作用了一个函数，这个函数就是激活函数 Activation Function。
如果不用激励函数，每一层输出都是上层输入的线性函数，无论神经网络有多少层，输出都是输入的线性组合。
如果使用的话，激活函数给神经元引入了非线性因素，使得神经网络可以任意逼近任何非线性函数，这样神经网络就可以应用到众多的非线性模型中。
2. 常见的激活函数
(1) sigmoid函数
公式：
曲线：
导数：
sigmoid函数也叫 Logistic 函数，用于隐层神经元输出，取值范围为(0,1)，它可以将一个实数映射到(0,1)的区间，可以用来做二分类。
优点：
- 便于求导的平滑函数；
- 能压缩数据，保证数据幅度不会有问题；
- 适合用于前向传播。
缺点：
- 容易出现梯度消失（gradient vanishing）的现象：当激活函数接近饱和区时，变化太缓慢，导数接近0，根据后向传递的数学依据是微积分求导的链式法则，当前导数需要之前各层导数的乘积，几个比较小的数相乘，导数结果很接近0，从而无法完成深层网络的训练。
- Sigmoid的输出不是0均值（zero-centered）的：这会导致后层的神经元的输入是非0均值的信号，这会对梯度产生影响。以 f=sigmoid(wx+b)为例， 假设输入均为正数（或负数），那么对w的导数总是正数（或负数），这样在反向传播过程中要么都往正方向更新，要么都往负方向更新，导致有一种捆绑效果，使得收敛缓慢。
- 幂运算，使得其相对耗时。
(2) Tanh函数（双曲正切函数）
公式：
与sigmoid函数关系：
曲线：
导数：
tanh函数也称为双切正切函数，取值范围为[-1,1]。
一个优点就是与 sigmoid 的区别是，tanh 是 0 均值的，因此实际应用中 tanh 会比 sigmoid 更好。
缺点类似sigmoid，虽然收敛速度相对快了，但也存在梯度弥散，而且也有幂计算，相对耗时。
(3) ReLU（线性修正单元）
公式：
曲线：
当输入 x<0 时，输出为 0，当 x> 0 时，输出为 x。
优点：
（1）SGD算法的收敛速度比 sigmoid 和 tanh 快；（梯度不会饱和，解决了梯度消失问题）
（2）计算复杂度低，不需要进行指数运算；
（3）适合用于后向传播。
缺点：
（1）ReLU的输出不是zero-centered；
（2）Dead ReLU Problem（神经元坏死现象）：某些神经元可能永远不会被激活，导致相应参数永远不会被更新（在负数部分，梯度为0）。产生这种现象的两个原因：参数初始化问题；learning rate太高导致在训练过程中参数更新太大。 解决方法：采用Xavier初始化方法，以及避免将learning rate设置太大或使用adagrad等自动调节learning rate的算法。
（3）ReLU不会对数据做幅度压缩，所以数据的幅度会随着模型层数的增加不断扩张。
(4) softmax函数
公式：
举个例子来看公式的意思：
其求导往往结合交叉熵损失函数，具体见博客：https://www.cnblogs.com/CJT-blog/p/10419523.html
softmax主要用于多类分类。 softmax函数的输出可用于表示所有类的概率分布，其中每个类的范围为（0,1]，且其输出满足所有类概率和为1。
为什么要取指数，第一个原因是要模拟 max 的行为，所以要让大的更大。第二个原因是需要一个可导的函数。
3. 更多激活函数
下面是 26 个激活函数的图示及其一阶导数，图的右侧是一些与神经网络相关的属性。
1. Step
激活函数 Step 更倾向于理论而不是实际，它模仿了生物神经元要么全有要么全无的属性。它无法应用于神经网络，因为其导数是 0（除了零点导数无定义以外），这意味着基于梯度的优化方法并不可行。
2. Identity
通过激活函数 Identity，节点的输入等于输出。它完美适合于潜在行为是线性（与线性回归相似）的任务。当存在非线性，单独使用该激活函数是不够的，但它依然可以在最终输出节点上作为激活函数用于回归任务。
3. ReLU
修正线性单元（Rectified linear unit，ReLU）是神经网络中最常用的激活函数。它保留了 step 函数的生物学启发（只有输入超出阈值时神经元才激活），不过当输入为正的时候，导数不为零，从而允许基于梯度的学习（尽管在 x=0 的时候，导数是未定义的）。使用这个函数能使计算变得很快，因为无论是函数还是其导数都不包含复杂的数学运算。然而，当输入为负值的时候，ReLU 的学习速度可能会变得很慢，甚至使神经元直接无效，因为此时输入小于零而梯度为零，从而其权重无法得到更新，在剩下的训练过程中会一直保持静默。
4. Sigmoid
Sigmoid 因其在 logistic 回归中的重要地位而被人熟知，值域在 0 到 1 之间。Logistic Sigmoid（或者按通常的叫法，Sigmoid）激活函数给神经网络引进了概率的概念。它的导数是非零的，并且很容易计算（是其初始输出的函数）。然而，在分类任务中，sigmoid 正逐渐被 Tanh 函数取代作为标准的激活函数，因为后者为奇函数（关于原点对称）。
5. Tanh
在分类任务中，双曲正切函数（Tanh）逐渐取代 Sigmoid 函数作为标准的激活函数，其具有很多神经网络所钟爱的特征。它是完全可微分的，反对称，对称中心在原点。为了解决学习缓慢和/或梯度消失问题，可以使用这个函数的更加平缓的变体（log-log、softsign、symmetrical sigmoid 等等）
6. Leaky ReLU
经典（以及广泛使用的）ReLU 激活函数的变体，带泄露修正线性单元（Leaky ReLU）的输出对负值输入有很小的坡度。由于导数总是不为零，这能减少静默神经元的出现，允许基于梯度的学习（虽然会很慢）。
7. PReLU
参数化修正线性单元（Parameteric Rectified Linear Unit，PReLU）属于 ReLU 修正类激活函数的一员。它和 RReLU 以及 Leaky ReLU 有一些共同点，即为负值输入添加了一个线性项。而最关键的区别是，这个线性项的斜率实际上是在模型训练中学习到的。
8. RReLU
随机带泄露的修正线性单元（Randomized Leaky Rectified Linear Unit，RReLU）也属于 ReLU 修正类激活函数的一员。和 Leaky ReLU 以及 PReLU 很相似，为负值输入添加了一个线性项。而最关键的区别是，这个线性项的斜率在每一个节点上都是随机分配的（通常服从均匀分布）。
9. ELU
指数线性单元（Exponential Linear Unit，ELU）也属于 ReLU 修正类激活函数的一员。和 PReLU 以及 RReLU 类似，为负值输入添加了一个非零输出。和其它修正类激活函数不同的是，它包括一个负指数项，从而防止静默神经元出现，导数收敛为零，从而提高学习效率。
10. SELU
扩展指数线性单元（Scaled Exponential Linear Unit，SELU）是激活函数指数线性单元（ELU）的一个变种。其中λ和α是固定数值（分别为 1.0507 和 1.6726）。这些值背后的推论（零均值/单位方差）构成了自归一化神经网络的基础（SNN）。
11. SReLU
S 型整流线性激活单元（S-shaped Rectified Linear Activation Unit，SReLU）属于以 ReLU 为代表的整流激活函数族。它由三个分段线性函数组成。其中两种函数的斜度，以及函数相交的位置会在模型训练中被学习。
12. Hard Sigmoid
Hard Sigmoid 是 Logistic Sigmoid 激活函数的分段线性近似。它更易计算，这使得学习计算的速度更快，尽管首次派生值为零可能导致静默神经元/过慢的学习速率（详见 ReLU）。
13. Hard Tanh
Hard Tanh 是 Tanh 激活函数的线性分段近似。相较而言，它更易计算，这使得学习计算的速度更快，尽管首次派生值为零可能导致静默神经元/过慢的学习速率（详见 ReLU）。
14. LeCun Tanh
LeCun Tanh（也被称作 Scaled Tanh）是 Tanh 激活函数的扩展版本。它具有以下几个可以改善学习的属性：f(± 1) = ±1；二阶导数在 x=1 较大化；且有效增益接近 1。
15. ArcTan
视觉上类似于双曲正切（Tanh）函数，ArcTan 激活函数更加平坦，这让它比其他双曲线更加清晰。在默认情况下，其输出范围在-π/2 和π/2 之间。其导数趋向于零的速度也更慢，这意味着学习的效率更高。但这也意味着，导数的计算比 Tanh 更加昂贵。
16. Softsign
Softsign 是 Tanh 激活函数的另一个替代选择。就像 Tanh 一样，Softsign 是反对称、去中心、可微分，并返回-1 和 1 之间的值。其更平坦的曲线与更慢的下降导数表明它可以更高效地学习。另一方面，导数的计算比 Tanh 更麻烦。
17. SoftPlus
作为 ReLU 的一个不错的替代选择，SoftPlus 能够返回任何大于 0 的值。与 ReLU 不同，SoftPlus 的导数是连续的、非零的，无处不在，从而防止出现静默神经元。然而，SoftPlus 另一个不同于 ReLU 的地方在于其不对称性，不以零为中心，这兴许会妨碍学习。此外，由于导数常常小于 1，也可能出现梯度消失的问题。
18. Signum
激活函数 Signum（或者简写为 Sign）是二值阶跃激活函数的扩展版本。它的值域为 [-1,1]，原点值是 0。尽管缺少阶跃函数的生物动机，Signum 依然是反对称的，这对激活函数来说是一个有利的特征。
19. Bent Identity
激活函数 Bent Identity 是介于 Identity 与 ReLU 之间的一种折衷选择。它允许非线性行为，尽管其非零导数有效提升了学习并克服了与 ReLU 相关的静默神经元的问题。由于其导数可在 1 的任意一侧返回值，因此它可能容易受到梯度爆炸和消失的影响。
20. Symmetrical Sigmoid
Symmetrical Sigmoid 是另一个 Tanh 激活函数的变种（实际上，它相当于输入减半的 Tanh）。和 Tanh 一样，它是反对称的、零中心、可微分的，值域在 -1 到 1 之间。它更平坦的形状和更慢的下降派生表明它可以更有效地进行学习。
21. Log Log
Log Log 激活函数（由上图 f(x) 可知该函数为以 e 为底的嵌套指数函数）的值域为 [0,1]，Complementary Log Log 激活函数有潜力替代经典的 Sigmoid 激活函数。该函数饱和地更快，且零点值要高于 0.5。
22. Gaussian
高斯激活函数（Gaussian）并不是径向基函数网络（RBFN）中常用的高斯核函数，高斯激活函数在多层感知机类的模型中并不是很流行。该函数处处可微且为偶函数，但一阶导会很快收敛到零。
23. Absolute
顾名思义，值（Absolute）激活函数返回输入的值。该函数的导数除了零点外处处有定义，且导数的量值处处为 1。这种激活函数一定不会出现梯度爆炸或消失的情况。
24. Sinusoid
如同余弦函数，Sinusoid（或简单正弦函数）激活函数为神经网络引入了周期性。该函数的值域为 [-1,1]，且导数处处连续。此外，Sinusoid 激活函数为零点对称的奇函数。
25. Cos
如同正弦函数，余弦激活函数（Cos/Cosine）为神经网络引入了周期性。它的值域为 [-1,1]，且导数处处连续。和 Sinusoid 函数不同，余弦函数为不以零点对称的偶函数。
26. Sinc
Sinc 函数（全称是 Cardinal Sine）在信号处理中尤为重要，因为它表征了矩形函数的傅立叶变换（Fourier transform）。作为一种激活函数，它的优势在于处处可微和对称的特性，不过它比较容易产生梯度消失的问题。
补充一个：maxout激活函数
参考:
https://www.cnblogs.com/lovychen/p/7561895.html
https://blog.csdn.net/qq_35200479/article/details/84502844
https://blog.csdn.net/not_guy/article/details/78749509
http://www.dataguru.cn/article-12255-1.html
https://www.cnblogs.com/makefile/p/activation-function.html
