2.6 有限微积分
普通微积分的定义:
可以理解导数符号为一个算子(函数到函数的映射),比如说导数算子将 f(x)=x^2 映射成 f(x)=2x
离散微积分中与导数对应的定义就是差分:
例子:
但是考虑到 (x3)'=3x2,比较简单的形式,寻找一个东西,使得在差分运算下形式比较简洁,这个就叫下降幂
定义下降幂的符号和计算方式为:
比如说 n 是正整数并且 (ngeq m),那么 n 的 m 次下降幂就是 n!/(n-m)!
对下降幂进行差分:
定义中要求 (mgeq 0),想办法推广到一般整数的情况
从 m=0 开始,那么得到定义
以此类推得到在一般负整数上的定义,同样也可以验证有关于差分的性质成立,比如
要差分得到 -1 次下降幂,需要调和级数
整个系统里,由于离散化,因此定义域上会有一些坑,比如说考虑负整数的下降幂时有些奇怪的问题
- 一般来说在非负整数上处理这个问题,底数涉及到负整数要注意边界
求导/差分等于自身的函数类比:
下降幂的二项式定理:
指数的运算:(a^ma^n=a^{m+n})
下降幂根据定义,类似的性质是 (x^{underline m}(x-m)^{underline n}=x^{underline{m+n}})
再定义一个与积分运算相似的运算,定义运算的时候,期望是差分的逆运算,或满足一些互逆性质,假设
原函数:如果 (f'(x)=g(x)),那么称 (f(x)) 为 (g(x)) 的一个原函数
- (g(x)) 的不定积分为 (int f(x)dx+C)
那么定义不定和式(C是一个常数),可以类比一下不定积分(原函数)的定义
如果 (Delta f(x)=g(x)),那么称 (g(x)) 的一个原函数为 (f(x)),(g(x)) 的不定和式 (sum g(x)delta x=f(x)+C)
与定积分相关的是和式(求和),符号的形式参考微积分的形式,定义的时候希望与微积分的定理形式一致,类比牛顿-莱布尼茨定理,我们定义和式,希望和式的定义与牛顿-莱布尼茨定理形式一样:
例子:
对于任意函数g(x),设f(x)为g(x)的一个不定和式,那么
求和区间是左闭右开的,下界是 (a),上界是 (b),那么下标区间就是 ([a,b))
重写之前的一些和式
考虑定积分的区间可加性:
对于求和来说,也有类似的性质:
在做定积分的时候,可能会出现下界大于上界的情况,比如说 (a>b) 时 (int_a^b(f(x)dx)=-int_b^af(x)dx)
类似地,求和的时候可以定义 (sum_a^bf(x)delta x=-sum_b^af(x)delta x)
简单的应用:
求和:
运用在求幂次和上面
求导的链式法则在离散微积分中不好套用
- (f(g(x))),可导一定连续,一个函数 (f) 在 (x_0) 处连续的定义是 (lim_{x ightarrow x_0}f(x)=f(x_0))
下述函数只在 (x=0) 处连续
链式法则 ((f(g(x)))'=f'(g(x)) imes g'(x)),基础是 (dg) 和 (dx) 都趋向于0,满足求导的分母条件
- 离散微积分中,(delta x=1),但是一般来说 (delta g eq 1),步长与差分不一致了(实际上是一个更大的下标差)
从 (f(x)) 推导 ((1/f(x))') 这个东西也不是很方便,没办法化简
考虑一下乘积,在微积分中,有
在离散微积分中,尝试对乘积进行差分
引入移位算子E,(Ef(x)=f(x+1)),那么形式化简为 (Delta(f(x)g(x))=f(x)Delta g(x)+Delta f(x)Eg(x)=g(x)Delta f(x)+Delta g(x)Ef(x))
类比一下微积分,如果是导数做上述的事情,结果应该是(最后一步根据连续性可得)
分部积分法:利用((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)),同取不定积分,得到 (f(x)g(x)=int f'(x)g(x)dx+int f(x)g'(x)dx),移项得到(int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-int f(x)g'(x)dx)
一个例子:求 (xln x) 的不定积分,定义 (f(x)=frac12x^2),(g(x)=ln x),利用上述公式得到
对于离散微积分,类似的式子就是
例子:
例子(令 (f(x)=frac12x^{underline2}),(g(x)=H_x),使用上述的第二个式子,套进去,注意到 (Delta g(x)=x^{underline{-1}}=1/(x+1)))
2.7 无限和式
例子:
但是如果考虑的是 (T=1+2+4+8+cdots),就不能使用上述的方式了,因为实际上结果是 (+infty)
无穷级数的定义:
有可能存在极限不存在的情况,比如说 (sum_{i=0}^{+infty}(-1)^i)
尝试改变无穷多个数相加的时候的运算顺序,比如说
或者考虑
- 如果从1开始对称往外计算,那么结果就是1
- 如果按照右边两项,左边一项的顺序进行求和,那么进行 (n) 轮求和的结果就是 (1+H_{2n}-H_n),极限是 (1+ln 2)
分析在什么时候,改变求和顺序不会影响最终的结果:假设有一串满足条件的数 (a),使用无穷大的集合 (K) 中的元素进行索引,求的和就是 (sum_{kin K}a_k)
提取出所有的正数项和负数项,(sum_{kin K}a_k=sum_{kin K}max(0,a_k)+sum_{kin K}min(0,a_k))
因为我们希望有一个最终的确定的结果,因此两个部分都不希望跑到无穷
- 因此定义:如果 (sum_{kin K}max(0,a_k),sum_{kin K}min(0,a_k)) 的值都存在,且不为正/负无穷的话,那么称原来的 (a_k) 是绝对收敛的
- 对于求和项均为非负的情况,使用无穷级数的定义,或者说使用上确界和下确界,即最小的A,使得对任意有限集合 (Ssubseteq K)。均满足 (sum_{kin S}...leq A)
- 绝对收敛的理解:(sum_{kin K}|a_k|) 是有界的(也即极限存在)
假如说一串数 (a),使用指标集 (K) 索引,如果和式 (sum_{kin K}a_k) 是绝对收敛的,那么任意交换求和顺序得到的结果均是相同的
- 证明与具体数学关系不大(最好对数学分析-实数完备性有一定了解)
习题 31
黎曼函数 (zeta(k)):我们用不到的在数学领域一个重要的函数
(e^{i heta}=cos heta+isin heta)
(c^{a+bi}=c^a imes e^{i imes(bln c)})
求和:(sum_{k=2}^{+infty}{(zeta(k)-1)})
-
因为每一项均为非负,因此可以任意交换求和顺序(有界/无界均可以)
-
[sum_{k=2}^{+infty}(zeta(k)-1)=sum_{k=2}^{+infty}sum_{j=2}^{+infty}1/j^k=sum_{j=2}^{+infty}sum_{k=2}^{+infty}1/j^k=sum_{j=2}^{+infty}frac1{j(j-1)}=1 ]