伤寒杂病论

持续更新

大概是杂文集吧

以下是目录：

目录

• 0. 集合
• 1. 光速幂（ 进制倍增）
  • 1. 朴素
  • 2. 不朴素
• 2. 在线离散化
• 3. 邻接表
• 4. C-Style 字符串小结
• 5. 信息传递的一点研究
  • 0. 一些小前置
  • 1. 朴素信息传递
  • 2. 带修信息传递

0. 集合

• 并查集维护区间交、并

1. 光速幂（\(k\) 进制倍增）

\(a, p\) 一定，求

\[a^x \bmod p \]

1. 朴素

基本的欧拉降幂就不说了，可以将 \(x\) 缩小到 \(\varphi(p)\le p\) 的范围内 .

考虑分块预处理，令 \(r = \lfloor\sqrt p\rfloor\)，则我们可以把 \(a^x\) 分成几个整块的 \(a^r\) 和一个散的

预处理 \(a^r, (a^r)^2, (a^r)^3, \cdots, , (a^r)^r\)，\(a, a^2\cdots, a^r\)，然后我们就可以求 \(a^x\) 力

\[a_x = a^{rp + q} = (a^r)^p\cdot a^q \]

这里 \(rp+q\) 类似一个带余除法，\(0\le q < r\) .

这样空间复杂度 \(O(\sqrt p)\)，时间复杂度 \(O(\sqrt p) - O(1)\)

这玩意还可以用类似方法搞搞扩域光速幂，矩阵光速幂啥的 .

Code：

template<int MOD>
struct FastPow
{
private:
	ll p1[66666],p2[66666];
	static ll qpow(ll a,ll n)
	{
		ll ans=1;
		while (n)
		{
			if (n&1) ans=ans*a%MOD;
			a=a*a%MOD; n>>=1;
		} return ans%MOD;
	}
public:
	explicit FastPow(ll a)
	{
		ll t1=a,t2=qpow(t1,65536); p1[0]=p2[0]=1;
		for (int i=1;i<65536;i++) p1[i]=p1[i-1]*t1%MOD;
		for (int i=1;i<65536;i++) p2[i]=p2[i-1]*t2%MOD;
	}
	ll operator()(unsigned n){return p2[n>>16]%MOD*p1[n&65535]%MOD;}
};

例题：块速递推

2. 不朴素

我们这个 \(r\) 也不一定取 \(\sqrt p\) .

类似快速幂，我们拆

\[a^x = a^{x\bmod k}\cdot (a^k)^{\lfloor x/k\rfloor} \]

左边预处理，右边递归做 .

这一般被叫做 \(k\) 进制倍增，当 \(k=2\) 时等价于快速幂 .

这个可以用来调节预处理复杂度和询问复杂度，例如 \(r\) 取 \(p^{1/3}\) 时 .

空间复杂度 \(O(k\log_k p)\) 时间复杂度 \(O(k\log_k p) - O(\log_k p)\)（有错望指正）.

例题：能量采集

2. 在线离散化

就是一个小工具 .

一个全自动 Hash 器，挺好用，可以让你避免离散化化化化化化

template<typename T>
struct pool
{
	unordered_map<T, unsigned> pol;
	unsigned cc = 0;
	unsigned get(T x)
	{
		auto ptr = pol.find(x);
		if (ptr == pol.end()){pol[x] = ++cc; return cc;}
		else return ptr -> second;
	}
};

例：程序设计分析 AC 代码（提交记录）

using namespace std;
const int N = 1e6 + 500;
typedef long long ll;
int fa[N], n;
inline void init(int n){for (int i=0; i<=n; i++) fa[i] = i;}
int fnd(int x){return (fa[x] == x) ? x : fa[x] = fnd(fa[x]);}
void merge(int u, int v){fa[fnd(u)] = fnd(v);}
struct pool
{
	unordered_map<int, int> pol;
	int cc = 0;
	int get(int x)
	{
		auto ptr = pol.find(x);
		if (ptr == pol.end()){pol[x] = ++cc; return cc;}
		else return ptr -> second;
	}
}T;
void _()
{
	init(1e6);
	scanf("%d", &n);
	vector<pair<int, int> > query;
	for (int u, v, opt, i = 0; i<n; i++)
	{
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &opt);
		if (opt == 1)
		{
			int U = T.get(u), V = T.get(v);
			merge(U, V);
		}
		else query.push_back(make_pair(u, v));
	}
	for (auto x : query)
	{
		int u = x.first, v = x.second, U = T.get(u), V = T.get(v);
		if (fnd(U) == fnd(V)){puts("NO"); return ;} 
	} puts("YES");
}
int main()
{
	int T; scanf("%d", &T);
	while (T--) _(); // solve
	return 0;
}

3. 邻接表

好像目前没啥应用

就是把邻接表链的链表改成别的数据结构，比如改成平衡树 / SkipList 就可以支持删边 .

4. C-Style 字符串小结

常见函数

• strlen 长度
• strcmp 比较（strcmpi 不区分大小写）
• strcpy 复制
• strcat 追加
• strrev 字符串反转
• strupr 转大写

全文读取：

void rdfile(const char* a)
{
	char* ptr=a;
	while ((*ptr=getchar()) && (*ptr!=EOF)) ++ptr;
}

5. 信息传递的一点研究

0. 一些小前置

\(\mathsf D_1\) 基环树是啥？link . 基环内向树是啥？所有边的方向都向着环的方向的基环树 .

\(\mathsf D_2\) 弱联通是啥？有向图去掉方向后的连通性

---

\(\mathsf P\)

维护一个序列 \(a\)，支持

1. 区间循环移 \(x\) 位
2. 区间加
3. 单点查

一次 \(1\) 操作拆成三次区间 reverse，用文艺平衡树即可 \(O(\log n)\)，于是 \(3\) 可以用 tag 做到 \(O(\log n)\)，\(2\) 可以递归 \(O(\log n)\)

1. 朴素信息传递

题面大概是

给一个基环内向树森林求最小环

仨经典算法

• 并查集
• 拓扑排序
• tarjan

一些别的算法

• dfs，用并查集标记弱联通
• Floyd 判圈法

2. 带修信息传递

题面大概是

给一个基环内向树森林求最小环

每次修改将 \(u\to v_0\) 的边删掉，改成 \(u\to v_1\) .

现在除掉方向 .

从环上按顺序把每棵树的 DFS 序拼起来就当作整个森林的 DFS 序 .

维护 DFS 序的过程就是前置 \(\mathsf P\)，区间加维护每个点到环的距离，就可以维护环长了 .

预处理 \(O(n)\)，修改 \(O(\log n)\)，哈哈 .

或许可以 Euler Tour Tree？？

假了请告诉我并爆 D 我的算法 qwq

upd: 这玩意其实叫 深度确定问题 .

upd：不是 depth determination，不能并查集，只能 \(\log\) 平衡树 .