qbxt五一数学Day1

目录

• I. 基础知识
  • 1. 带余除法（小学）
    • 1. 定义
    • 2. 性质
  • 2. 最大公约数（gcd）/ 最小公倍数（lcm）
    • 1. 定义
    • 2. 性质
  • 3. 高精度
• II. 矩阵及其应用
  • 1. 定义
  • 2. 运算
  • 3. 递推
  • 4. 图论

I. 基础知识

1. 带余除法（小学）

1. 定义

对于整数 (a,b)，若有 (q,r) 满足：

[a=bq+r ]

其中 (0le r<b)，那么 (r) 称作 (a) 模 (b) 的 余数，记作 (amod b) .

顺便一提，(a=leftlfloordfrac ab ight floor) .

2. 性质

[(a+b)mod p=((amod p)+(bmod p))mod p ]

[(a-b)mod p=((amod p)-(bmod p))mod p ]

[abmod p=((amod p)(bmod p))mod p ]

Proof:

设 (a=a'p+r_0,b=b'p+r_1)，则有：

[(a+b)mod p=(r_0+r_1)mod p=((amod p)+(bmod p))mod p ]

[(a-b)mod p=(r_0-r_1)mod p=((amod p)-(bmod p))mod p ]

[abmod p=(r_0cdot r_1)mod p=((amod p)(bmod p))mod p ag*{□} ]

2. 最大公约数（gcd）/ 最小公倍数（lcm）

1. 定义

最大公约数：(max G;s.t.;pmod G=qmod G=0)，则 (G) 为 (p,q) 最大公约数，记做 (gcd(p,q)=(p,q)=G)

最小公倍数：(min L;s.t.;Lmod p=Lmod q=0)，则 (L) 为 (p,q) 最小公倍数，记做 (operatorname{lcm}(p,q)=[p,q]=L)

2. 性质

(gcd(a,b)=gcd(b,amod b))

3. 高精度

II. 矩阵及其应用

1. 定义

(n) 行 (m) 列的数表就是 矩阵（Martix），矩阵里的数叫做矩阵的 元素（Element），例如下面就是三个矩阵：

[egin{bmatrix}1&2\3&3end{bmatrix}quadegin{Bmatrix}9&3sqrt 2\e&0\-dfrac 13&pi^2end{Bmatrix}quad,left(egin{matrix}3.14&6.28&9.42\pi&2pi&3piend{matrix} ight) ]

矩阵一般用大写字母 (A,B,C,cdots) 表示

特殊的矩阵有:

• 零矩阵 (O)，所有元素都是 (0) 的矩阵 .
• 单位矩阵 (I)（或写作 (E)），对角线是 (1)，其余为 (0) 的矩阵：(egin{bmatrix}1&0&0&cdots&0\0&1&0&cdots&0\0&0&1&cdots&0\vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\0&0&0&cdots&1end{bmatrix}) .

2. 运算

相等：所有元素相等

相加减：所有元素相加减

数乘：用数乘每个元素

相乘

[A_{n imes m}B_{m imes k}=C_{n imes k} ]

[C_{i,j}=sum_{l=1}^m A_{il}B_{lj} ]

3. 递推

Fibonacci 数列：([F_n,F_{n-1}]egin{bmatrix}1&1\1&0end{bmatrix}=[F_{n+1},F_n])

更改系数类似

(F_n=F_{n-1}+F_{n-3}) 形：开 (F_n,F_{n-1},F_{n-2})

有常数项：例子：(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+1)，递推：([F_n,F_{n-1},1]egin{bmatrix}1&1&0\1&0&0\1&0&1end{bmatrix}=[F_{n+1},F_n,1])

求和：

1. 推式子再做矩阵快速幂
2. 通用办法：例子：求 Fibonacci 数列和，递推：([F_n,F_{n-1},S_n]egin{bmatrix}1&1&0\1&0&1\0&0&1end{bmatrix}=[F_{n+1},F_n,S_{n+1}])，(S_n) 是和 .

4. 图论

https://www.cnblogs.com/CDOI-24374/p/14407416.html

Problem 杰杰的女性朋友

对于每个点 (u) 给定属性 (in_{u,1},in_{u,2},cdots,in_{u,k})，(out_{u,1},out_{u,2},cdots,out_{u,k})

对于任意 ((u,v))，(u) 到 (v) 有 (sumlimits_{i=1}^k ou_{u,i}in_{v,i}) 条道路

问 (u) 到 (v) 不超过 (d) 条道路的方案数 .

[(OI)^t=OIOIOIOIcdots OI=O(IOIOIOIOcdots IO)I=O(IO)^{t-1}I ]