1. 多项式插值定理
我们知道，两点可以确定一条直线（一次多项式），而三点可以确定一条二次函数，四点可以确定一个三次函数 ......
这不由得让我们产生思考——给定 (n+1) 个点，是否有一个唯一的 (n) 次多项式过这所有点呢？答案是肯定的，这个定理被称作 多项式插值定理，证明见 * 一节 .
注意做题时必须确定答案是多项式才能插值，比如对非常平稳的一组点做插值时：
，，，，，，，，，，[表情]
2. 插值方法
由于多项式插值定理的存在，我们下面研究一个问题：给定 (n+1) 个点 ((x_0,y_0),(x_1,y_1),cdots,(x_n,y_n))，求一个多项式 (f(x)) 使得 (f(x_i)=y_i)) .
0. 暴力（Get 0 Points）插值
和多项式插值定理的证明差不多，高斯消元解方程组即可，时间复杂度 (O(n^3)) .
当然也可以用 Cramer 法则求出解的表达式然后解行列式，也是 (O(n^3)) 的，但是常数会高一些
1. 拉格朗日（Lagrange）插值
1. 朴素做法
考虑构造 (n+1) 个多项式 (g_i(x))，使得 (g_i(x_i)=y_i)，且对于任意 (i eq j) 有 (g_i(x_j)=0)，然后 (sumlimits_{i=0}^n g_i(x)) 即是所求多项式 .
构造这个 (g_i)，可以令 (g_i(x)=y_iell_i(x))，这样 (ell_i(x)) 只取 ({0,1})，那么自然满足条件 .
令 (ell_i(x)) 为
即可，当 (x=x_i) 时，每项都是 (dfrac{x_i-x_j}{x_i-x_j}=1)，当 (x eq x_i) 时，一定有一项使得分子为 (0) .
所以我们就得到了拉格朗日插值公式：
上面设的 (ell_i(x)) 称做拉格朗日基本多项式（插值基函数），(L_n(x)) 叫做拉格朗日插值多项式 .
下面给出模板题 洛谷 P4781 的代码：
ll ans=0,x[N],y[N];
int n,k;
ll qpow(ll a,ll n)
{
ll ans=1;
while (n)
{
if (n&1) ans=ans*a%MOD;
a=a*a%MOD; n>>=1;
} return ans%MOD;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",x+i,y+i);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
ll P=1,Q=1;
for (int j=1;j<=n;j++)
if (i!=j){P=P*(k-x[j])%MOD; Q=Q*(x[i]-x[j])%MOD;}
ans=(ans+y[i]*P%MOD*qpow(Q,MOD-2)%MOD)%MOD;
} printf("%lld",(ans%MOD+MOD)%MOD);
return 0;
}
这里因为是模 (998244353) 意义下的，所以用了逆元 .
其截断误差由如下定理得出
若 (f(x)in C^{n+1}[a,b])，(L(x)) 是 (f) 在区间 ([a,b]) 上 (n+1) 个不同点 (x_0,x_1,⋯,x_n) 上的次数不超过 (n) 的插值多项式，则对每个 (xin[a,b]) 都存在 (xi_xin [a,b]) 满足：
[f(x)-L(x)=dfrac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(xi_x)prod_{i=0}^n(x-x_i) ]
证明见 * 一节 .
注意到利用定理估计截断误差实际上很困难，一是因为上式要计算 (f(x)) 高阶导数，二是 (xi_x) 的位置不确定 .
若有 (n+2) 组数据，前 (n+1) 个做一次插值，后 (n+1) 个做一次插值，然后相减化一下式子即可获得比较实用的公式 .
2. 当 (x_i) 连续时的更优做法
不妨加上 (x_i=i)，则有
维护 (k-j) 的前缀积，后缀积和阶乘即可 .
3. 重心拉格朗日插值
注意到每次新加入一个点的时候要重新插值，如果要多次增加点，拉格朗日插值就 gg 了 .
先看一下前面的式子
设
则
发现只有 (x-x_i) 是变化的，则令
从而
每次加点时 (O(n)) 算出 (w_i) 即可求出新的 (L_n(x)) .
3. 快速插值
1. (O(nlog^3 n)) 插值
咕
2. (O(n^2log^2 n)) 插值
咕
3. (O(nlog^2 n)) 插值
咕
4. 一些例题
1. 自然数 (k) 次方和
给定 (n,k)，求 (sumlimits_{i=1}^ni^k) 对 (10^9+7) 取模的结果 .
先对 (k) 一定的序列差分，然后发现是 (k) 次的，所以原式是 (k+1) 次的，取 (1sim k+2) 跑拉格朗日插值即可 .
typedef long long ll;
const int N=2e6+5,MOD=1e9+7;
ll pre[N],suf[N],fac[N],n,k;
ll qpow(ll a,ll n)
{
ll ans=1;
while (n)
{
if (n&1) ans=ans*a%MOD;
a=a*a%MOD; n>>=1;
} return ans%MOD;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&k); pre[0]=suf[k+3]=fac[0]=1;
for (int i=1;i<=k+2;i++) pre[i]=pre[i-1]*(n-i)%MOD;
for (int i=k+2;i>=1;i--) suf[i]=suf[i+1]*(n-i)%MOD;
for (int i=1;i<=k+2;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
ll tmp=0,ans=0;
for (int i=1;i<=k+2;i++)
{
tmp=(tmp+qpow(i,k))%MOD;
ll P=pre[i-1]*suf[i+1]%MOD,Q=fac[i-1]*((k-i)&1?-1:1)*fac[k+2-i]%MOD;
ans=(ans+tmp*P%MOD*qpow(Q,MOD-2)%MOD)%MOD;
} printf("%lld
",(ans+MOD)%MOD);
return 0;
}
*. 有关定理的证明
1. 多项式插值定理
若 (x_0,x_1,cdots,x_n) 是不同实数，则对任意实数 (y_0,y_1,cdots,y_n) 存在唯一的次数最多是 (n) 次的多项式 (f(x)) 满足 (f(x_i)=y_i) .
Proof：
设 (f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0)，则有
[egin{cases}a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+cdots+a_1x_0+a_0\a_nx_1^n+a_{n-1}x_1^{n-1}+cdots+a_1x_1+a_0\a_nx_2^n+a_{n-1}x_2^{n-1}+cdots+a_1x_2+a_0\cdots\a_nx_{n-1}^n+a_{n-1}x_{n-1}^{n-1}+cdots+a_1x_{n-1}+a_0\a_nx_n^n+a_{n-1}x_n^{n-1}+cdots+a_1x_n+a_0\end{cases} ]以 (a_0,a_1,cdots,a_n) 做变量，则其系数行列式
[egin{vmatrix}1&x_1&cdots&x_1^n\1&x_2&cdots &x_2^n\vdots&vdots&ddots&vdots\1&x_n&cdots&x_n^nend{vmatrix}=prod_{i eq j}(x_i-x_j) ]这一步是由于其系数行列式为转置的范德蒙德（Vandermonde）行列式。又由于 Cramer 法则，因其系数行列式不等于 (0)，从而方程有唯一解，即多项式存在且唯一 .
[ ag*{□} ]
2. 多项式插值误差定理
若 (f(x)in C^{n+1}[a,b])，(L(x)) 是 (f) 在区间 ([a,b]) 上 (n+1) 个不同点 (x_0,x_1,⋯,x_n) 上的次数不超过 (n) 的插值多项式，则对每个 (xin[a,b]) 都存在 (xi_xin [a,b]) 满足：
[f(x)-L(x)=dfrac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(xi_x)prod_{i=0}^n(x-x_i) ]
Proof：
若 (xin{x_0,x_1,cdots,x_n})，上式显然成立 .
否则令 (varphi(t)=f(t)-L(t)-lambdaomega)，其中 (omega=prodlimits_{i=0}^n(t-x_i))，(lambda=dfrac{f(x)-L(x)}{omega(x)})
显然 (varphi(t)) 至少有 (x,x_0,x_1,cdots,x_n) 这 (n+2) 个不同的根，由罗尔定理，(varphi^{(n+1)}) 至少有一个零点 (xi_x)，形式化的，有[varphi^{(n+1)}(xi_x)=f^{(n+1)}(xi_x)-lambda(n+1)!=0 ]从而，有
[f(x)-L(x)=dfrac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(xi_x)prod_{i=0}^n(x-x_i) ][ ag*{□} ]