一、题目
二、解法
这里只讲算法流程，没有证明！没有证明！没有证明！
我们还是考虑沿用二分图匹配的思路：找增广路，我们循环 \(1\rightarrow n\) 找到一个没有匹配的点，然后尝试寻找它的匹配。我们以它为根对原图进行 \(\tt bfs\)，并且黑白交替染色，首先我们对根染黑色，然后对所有黑色点 \(u\) 访问 \(v\)：
- 如果 \(v\) 是一个没被访问过的点，考虑如果 \(v\) 没有被匹配那么我们就找到了增广路；如果 \(v\) 被匹配那么我们把 \(v\) 的匹配点染成黑色，并把它加入 \(\tt bfs\) 队列中。
- 如果 \(v\) 是一个被访问过的点，考虑如果 \(v\) 是白色，即表示 \((u,v)\) 在这棵 \(\tt bfs\) 树上构成了偶环，可以直接跳过；如果 \(u,v\) 已经在一个缩过的环中那么跳过；如果 \(v\) 是黑色，那么出现了奇环，带花树算法就是用来解决这个问题。
带花树算法描述的是，我们此时可以把奇环缩成一个点（称为缩花），那么如何缩点呢？考虑使用并查集，初始时每个点的奇环顶点都是自己。缩花的时候先用暴力 \(\tt lca\) 的方法找到环的顶点，我们直接将环上所有结点的父亲设置为这个顶点即可。
最后说一下实现中需要维护的重要数组及维护方法：
- \(fa[x]\)，表示 \(x\) 并查集的父亲，缩花的时候维护。
- \(mat[x]\)，表示 \(x\) 的匹配点，在找到增广路的时候修改。
- \(pre[x]\)，表示依据访问顺序白点 \(x\) 的上一个黑点，注意在缩花的时候需要把花上的 \(pre\) 都改成双向的，因为花是可以双向访问的。
时间复杂度我也不太清楚，但是我感觉是 \(O(|V|\cdot |E|)\) 的啊？
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 1005;
int read()
{
int x=0,f=1;char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,tim,tot,f[M];
int d[M],pre[M],mat[M],fa[M],bz[M],bp[M];
struct edge
{
int v,next;
}e[M*M];
int find(int x)
{
if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
int lca(int x,int y)
{
tim++;x=find(x);y=find(y);
while(bp[x]!=tim)
{
bp[x]=tim;
x=find(pre[mat[x]]);
if(y) swap(x,y);
}
return x;
}
void make(int x,int y,int w)
{
while(find(x)!=w)
{
pre[x]=y;y=mat[x];
if(bz[y]==2) bz[y]=1,d[++d[0]]=y;
if(find(x)==x) fa[x]=w;
if(find(y)==y) fa[y]=w;
x=pre[y];
}
}
int bfs(int rt)
{
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,pre[i]=bz[i]=0;
d[d[0]=1]=rt;bz[rt]=1;int l=0;
while(l<d[0])
{
int u=d[++l];
for(int i=f[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;
if(find(u)==find(v) || bz[v]==2) continue;
if(!bz[v])
{
bz[v]=2;pre[v]=u;
if(!mat[v])
{
for(int x=v,y;x;x=y)
y=mat[pre[x]],
mat[x]=pre[x],
mat[pre[x]]=x;
return 1;
}
bz[mat[v]]=1;d[++d[0]]=mat[v];
}
else
{
int w=lca(u,v);
make(u,v,w);
make(v,u,w);
}
}
}
return 0;
}
signed main()
{
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u=read(),v=read();
e[++tot]=edge{v,f[u]},f[u]=tot;
e[++tot]=edge{u,f[v]},f[v]=tot;
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) if(!mat[i])
ans+=bfs(i);
printf("%d\n",ans);
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",mat[i]);
}