1、前言
我真的是吐了，最近学什么都学不懂。
这个东西还是 ( t oneindark) 去翻论文搞懂的，我只能拾人牙慧了。
2、概述
对于原函数 (y=f(x))，我们想求一个 反向映射 (g(y)=x)，也就是满足下列的关系式：
[g(f(x))=x
]
但是这个反演是有限制的，(f,g) 只能含有 (x) 的正整数次幂，在下面的推导中我会告诉你为什么。
3、求法
用 ([x^k]) 表示 (f(x)) 中第 (k) 项的系数，先写结论：
[[x^n]g(x)=frac{1}{n}[x^{-1}]frac{1}{f(x)^n}=frac{1}{n}[x^{n-1}]frac{x^n}{f(x)^n}
]
上面的结论给出了 (g) 怎么求，设 (g(x)=sum_{i=1}^infty b_ix^i)，我们把它带进定义式 (g(f(x))=x) 里面：
[sum_{i=1}^infty b_if(x)^i=x
]
两边以自变量 (x) 求导：
[sum_{i=1}^infty ib_if(x)^{i-1}f'(x)=1
]
仔细观察结论式，现在我们已经得到 (1) 了，所以两边除以 (f(x)^n) 可以得到类似的结构：
[sum_{i=1}^infty ib_if(x)^{i-n-1}f'(x)=frac{1}{f(x)^n}
]
继续观察结论式，我们把 (n) 这一样单独拆出来才可能得到系数：
[nb_nfrac{f'(x)}{f(x)}+sum_{i=1,i
ot=n}^infty ib_if(x)^{i-n-1}f'(x)=frac{1}{f(x)^n}
]
下一步就需要逆向思维了，根据链式法则我们知道 ((f(x)^{i-n})'=(i-n)f(x)^{i-n-1}f'(x))，那么把这个东西再换回去：
[nb_nfrac{f'(x)}{f(x)}+sum_{i=1,i
ot=n}^inftyfrac{ib_i}{i-n}(f(x)^{i-n})'=frac{1}{f(x)^n}
]
因为 (f(x)^{i-n}) 是形式幂级数，而形式幂级数求导永远不会得到 ([x^{-1}]) 这一项，如果我们单看这一项就可以把这个形式幂级数扔掉了，那么式子就简单很多，我们和结论式愈加接近了：
[[x^{-1}]nb_nfrac{f'(x)}{f(x)}=[x^{-1}]frac{1}{f(x)^n}
]
剩下的工作就是暴力把 (frac{f'(x)}{f(x)}) 展开：
[frac{f'(x)}{f(x)}=frac{sum_{i=1}^infty ia_ix^{i-1}}{sum_{i=1}^infty a_ix^i}
]
[=frac{sum_{i=1}^infty ia_ix^{i-1}}{a_1x} imesfrac{1}{1+sum_{i=2}^inftyfrac{a_i}{a_1}x^{i-1}}
]
[=(x^{-1}+A)frac{1}{1+B}
]
[=(x^{-1}+A)(1+sum_{i=1}^{infty}(-1)^iB^i)
]
其中 (A,B) 都代表了两个无关紧要的形式幂级数，他们都不会给 (x^{-1}) 造成影响，那么：
[[x^{-1}]frac{f'(x)}{f(x)}=1
]
把他带到我们推出的式子中，得到：
[b_n=frac{1}{n}[x^{-1}]frac{1}{f(x)^n}
]
[[x^n]g(x)=frac{1}{n}[x^{-1}]frac{1}{f(x)^n}=frac{1}{n}[x^{n-1}]frac{x^n}{f(x)^n}
]
4、拓展
这个只能背结论了，我也没办法，若 (h(0)=0)：
[[x^n]h(g(x))=frac{1}{n}[x^{-1}]frac{h'(x)}{f(x)^n}
]
5、例题
例题1：大朋友和多叉树，这是很基本的应用了