题意：
给一个数n， 每次操作是随机的选择一个[1,N]区间内能够被n整除的数进行除法， 然后得到一个新的n。
问n变成1时的期望操作次数。
思路：
设E[n] 为 当数为x时， 变成 1 期望的次数， 则有转移方程。
E[n] = sigma E[n / x[i]] / k + 1（x[i] 为能被n被整除的数）， k为n在区间[1,n]能被n整除的个数。
化简：E[n] = E[n] / k + sigma E[n / x[i]] / k + 1
= k * (sigmaE[n / x[i]] / k + 1) / (k - 1)
= (sigmaE[n / x[i]] + k) / (k - 1)。
代码：
1 #include <cmath> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <cstdlib> 5 #include <ctime> 6 #include <set> 7 #include <map> 8 #include <list> 9 #include <queue> 10 #include <string> 11 #include <vector> 12 #include <fstream> 13 #include <iterator> 14 #include <iostream> 15 #include <algorithm> 16 using namespace std; 17 #define LL long long 18 #define MAXN 100010 19 #define MOD 1000000007 20 #define eps 1e-6 21 int n; 22 double f[MAXN]; 23 bool vis[MAXN]; 24 vector <int> g[MAXN]; 25 void init() 26 { 27 for(int i = 2; i < MAXN; i ++) 28 for(int j = 1; j * i < MAXN; j ++) 29 g[j * i].push_back(i); 30 31 f[1] = 0; 32 memset(vis, false, sizeof(vis)); 33 } 34 double dp(int x) 35 { 36 if(x == 1) return 0.0; 37 if(vis[x]) return f[x]; 38 vis[x] = true; 39 double& ans = f[x]; 40 ans = 0.0; 41 for(int i = 0; i < g[x].size(); i ++) 42 ans += dp(x/g[x][i]); 43 ans += (g[x].size() + 1.0); 44 ans /= g[x].size(); 45 return ans; 46 } 47 48 int main() 49 { 50 int T; 51 int kcase = 0; 52 init(); 53 scanf("%d", &T); 54 while(T --) 55 { 56 scanf("%d", &n); 57 printf("Case %d: %.7lf ", ++ kcase, dp(n)); 58 } 59 return 0; 60 }