P5591 小猪佩奇学数学

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知识点

二项式定理

[(x+1)^n=sum_{i=0}^ninom nix^i ]

单位根反演

[[nmid k]=frac 1nsum_{i=0}^{n-1}omega_n^{ik} ]

证明：

[[nmid k]=egin{cases}frac 1nsum_{i=0}^{n-1}omega_n^{ik}=frac 1nsum_{i=0}^{n-1}1=1 &,nmid k\ frac 1nsum_{i=0}^{n-1}omega_n^{ik}=frac 1nfrac{omega_n^k-omega_n^{nk}}{1-omega_n^k}=0 &,n otmid kend{cases} ]

题意

求

[sum_{i=0}^ninom ni p^ileftlfloorfrac ik ight floor pmod{998244353} ]

(1le n,ple998244353,kin{2^w|0le wle 20})

思路

一看到前面这个形式容易想到二项式定理，但是后面这个 (leftlfloorfrac ik ight floor) 不好处理。

观察一下数据范围发现 (k) 较小，考虑使用单位根反演，我们将柿子往这边化：

[leftlfloorfrac ik ight floor=(sum_{j=0}^i[kmid j])-1=(sum_{j=0}^i[kmid j])-1=(sum_{j=0}^ifrac 1ksum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ij})-1 ]

代入得到

[egin{aligned}&sum_{i=0}^ninom ni p^ileftlfloorfrac ik ight floor\ &=sum_{i=0}^ninom ni p^isum_{j=0}^ifrac 1ksum_{d=0}^{k-1}omega_k^{dj}-(sum_{i=0}^ninom ni p^i)\ &=frac 1ksum_{d=0}^{k-1}sum_{i=0}^ninom ni p^isum_{j=0}^iomega_k^{dj}-(p+1)^n\ &=frac 1k(P+sum_{d=1}^{k-1}sum_{i=0}^ninom ni p^ifrac{omega_k^{di+d}-1}{omega_k^d-1})-(p+1)^n\ &=frac 1k(P+sum_{d=1}^{k-1}frac{sum_{i=0}^ninom ni p^i(omega_k^{di+d}-1)}{{omega_k^d-1}})-(p+1)^n\ &=frac 1k(P+sum_{d=1}^{k-1}frac{sum_{i=0}^ninom ni p^iomega_k^{di+d}-sum_{i=0}^ninom ni p^i}{{omega_k^d-1}})-(p+1)^n\ &=frac 1k(P+sum_{d=1}^{k-1}frac{omega_k^dsum_{i=0}^ninom ni p^iomega_k^{di}-sum_{i=0}^ninom ni p^i}{{omega_k^d-1}})-(p+1)^n\ &=frac 1k(P+sum_{d=1}^{k-1}frac{omega_k^d(pomega_k^d+1)^n-(p+1)^n}{{omega_k^d-1}})-(p+1)^n end{aligned} ]

上式中 (P) 是 (d) 等于零的情况，此时 (sum_{j=0}^iomega_k^{dj}) 全为 1，公比为 1，不适用等比数列求和公式，我们单独算一下。由 (inom nmm=inom {n-1}{m-1}n)，有

[egin{aligned} P&=sum_{i=0}^ninom ni p^i(i+1)\ &=(sum_{i=0}^ninom ni p^ii)+(p+1)^n\ &=(npsum_{i=0}^ninom {n-1}{i-1} p^{i-1})+(p+1)^n\ &=np(p+1)^{n-1}+(p+1)^n end{aligned} ]

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read(){
	int w=0,x=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
	while(isdigit(c))x=x*10+(c^48),c=getchar();
	return w?-x:x;
}
namespace star
{
	const int maxn=(1<<10)+5,mod=998244353,g=3;
	int n,p,k,ans,rt;
	inline int fpow(int a,int b){int ans=1;for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) ans=1ll*ans*a%mod; return ans;}
	inline void work(){
		n=read(),p=read(),k=read(),rt=fpow(g,(mod-1)/k);
		ans=(1ll*n*p%mod*fpow(p+1,n-1)+fpow(p+1,n))%mod;
		for(int mul=rt,d=1;d<k;d++,mul=1ll*mul*rt%mod) ans=(ans+(1ll*mul*fpow((1ll*p*mul+1)%mod,n)%mod-fpow(p+1,n)+mod)%mod*fpow((mul-1+mod)%mod,mod-2))%mod;
		ans=1ll*ans*fpow(k,mod-2)%mod;
		printf("%d
",(ans-fpow(p+1,n)+mod)%mod);
	}
}
signed main(){
	star::work();
	return 0;
}