bzoj2118

2118: 墨墨的等式

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Description

墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究a1x1+a2x2+…+anxn=B存在非负整数解的条件，他要求你编写一个程序，给定N、{an}、以及B的取值范围，求出有多少B可以使等式存在非负整数解。

Input

输入的第一行包含3个正整数，分别表示N、BMin、BMax分别表示数列的长度、B的下界、B的上界。输入的第二行包含N个整数，即数列{an}的值。

Output

输出一个整数，表示有多少b可以使等式存在非负整数解。

Sample Input

2 5 10
3 5

Sample Output

5

HINT

对于100%的数据，N≤12，0≤ai≤5*10^5，1≤BMin≤BMax≤10^12。

分析

我们发现这已经不是简单的数论题了！（我开始并没有发现）对于这种无限取的背包问题，可以转化为取mod最短路的问题。具体怎么想呢？

首先我们将a排序（因为这道题n比较小其实可以不用但是这样更优秀）考虑对于a1，对于所有能够取到的数x，都有x+a1*k（k任意）一定会被取到。所以我们就可以把所有能够取到的数%a1，发现结果属于0~a1-1中的一个，那么我们就把每一个0~a1看做一个集合包括所有能够取到的数%a1=该值。

那么最小路怎么解释呢？相当于每次加一个数就走了一条边，我们将所有<r的数%a1的最小值看做最短路，求完后遍历0~a1分别求r和l-1的组合的个数（前缀和）减去即可。

这里我用dijkstra。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<utility>
#include<vector>
#include<functional>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int> pairr;

int n,a[15];
ll L, R;

struct Edge{
    int to,nxt,dis;
}e[maxn*10];

int  head[maxn];int ecnt;

inline void addedge(int  from,int to,int dis)
{
    e[++ecnt]=(Edge){to,head[from],dis},head[from]=ecnt;
}

ll dis[maxn];
bool vis[maxn];
void dijkstra()
{
    priority_queue <pairr,vector<pairr >,greater<pairr > >q;
    for(int i=0;i<a[1];i++)dis[i]=(ll)1e60;
    dis[0]=0;
    q.push(make_pair(0,0));
    while(!q.empty())
    {
        int v=q.top().second;q.pop();
        if(vis[v])continue;vis[v]=1;
        for(int i=head[v];i!=-1;i=e[i].nxt)
        {
            int u=e[i].to;
            ll w=(ll)e[i].dis;
            if(dis[u]>dis[v]+w)
            {
                dis[u]=dis[v]+w;
                q.push(make_pair(dis[u],u));
            }
        }
    }
}

inline ll getans(ll x)
{
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<a[1];i++)
        if(dis[i]<=R){
            ll zp=max(0ll,(x-dis[i])/a[1]);
            if(zp*a[1]+dis[i]<x)ans++;
            ans+=zp;
        }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%lld%lld",&n,&L,&R);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        if(a[i]==0)n--,i--;
    }
    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=0;i<a[1];i++)
        for(int j=2;j<=n;j++)
        addedge(i,(a[j]+i)%a[1],a[j]);
    dijkstra();
//    printf("%lld\n",getans(R)-getans(L-1)+1);
    ll ans=0;
    for (int i=0;i<a[1];i++) if (dis[i]<=R) {
        ll l=max(0ll,(L-dis[i])/a[1]);
        if (l*a[1]+dis[i]<L) l++;
        ll r=(R-dis[i])/a[1];
        if (r*a[1]+dis[i]>R) r--;
        ans+=r-l+1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

PS调了几天竟然是板子写错了！！！淦