【题解】POJ 3417 Network（倍增求LCA+DP+树上差分）

POJ3417：http://poj.org/problem?id=3417

思路

我们注意到由“主要边”构成一颗树 “附加边”则是非树边 把一条附加边(x,y)加入树中 会与树上x,y之间构成一个环

因此 我们称每条附加边(x,y)都把树上x,y之间的路径覆盖一次 我们只需要统计出每条“主要边”被覆盖几次

有以下几种情况

• 第一步把覆盖0次的主要边切断 则第二步可以任意切一条附加边 ans+=m
• 第一步把覆盖1次的主要边切断 则第二步只有一种选择切附加边 ans+=1
• 第一步把覆盖2次或以上的主要边切断 则不可能击败Dark

这样我们就可以统计出ans

解决每条边的覆盖次数 需要用到树上差分算法 

我们给每个节点初值为0

对于每条附加边(x,y) 我们给x和y节点权值+1

对于x和y的lca节点权值-2（想想为什么）

设F(x)为以x为根的子树中各节点的权值和 则F(x)就是x与其父节点之间树边被覆盖的次数

最后统计ans即可

PS：这题需要把cin cout 改为scanf printf 不然会TLE 坑了我一晚上

 代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 100010
int n,m,cnt,ans;
int h[maxn],dep[maxn],f[maxn][31],vis[maxn];
struct Edge
{
    int next;
    int to;
}e[maxn<<1];
void add(int u,int v)
{
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=h[u];
    h[u]=cnt;
}
void deal(int u,int fa)
{
    dep[u]=dep[fa]+1;//深度等于父节点+1 
    for(int i=1;i<=20;i++)//枚举倍增步数 
    {
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];//二分思想 
    }
    for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;//如果是父节点跳过 
        f[v][0]=u;//如果是子节点 
        deal(v,u);
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);//保证x的深度大 
    for(int i=20;i>=0;i--)//从大开始枚举 
    {
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];//先跳到同一层 
        if(x==y) return x;//如果已经找到 
    }
    for(int i=20;i>=0;i--)//此时x y已经在同一层 
    {
        if(f[x][i]!=f[y][i])//如果不同就继续跳 
        {
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];
}
void dp(int x)
{
    for(int i=h[x];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(v==f[x][0]) continue;
        dp(v);//不是父亲时 继续找 
        vis[x]+=vis[v];//递归回来时加上所有节点的权值 
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);//无向图 
        add(b,a);
    }
    deal(1,0);//预处理 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        vis[a]++;//树上差分算法 
        vis[b]++;
        vis[lca(a,b)]-=2;
    }
    dp(1);//计算所有主要边被覆盖几次 
    for(int i=2;i<=n;i++)//从2开始是因为我们把点存成边 
    {
        if(vis[i]==0)//被覆盖0次 
        ans+=m;
        if(vis[i]==1)//被覆盖1次 
        ans++;
    }
    printf("%d",ans);
}