【题解】P1516 青蛙的约会（Exgcd）

洛谷P1516：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1516

思路：

设两只青蛙跳了T步 则A的坐标为X+mT   B的坐标为Y+nT

要使他们相遇 则满足：X+mT-(Y+nT)=L*t   (t为整数)

即可推得：(n-m)*T+L*t=X-Y   由此可得 a*x+b*y=c

a1=a/gcd(n-m,L)   b1=b/gcd(n-m,L)   c1=c/gcd(n-m,L)

 

1. 用exgcd求解上述公式得出一个解x，但这并不一定是最后的解
2. 若(X-Y)%gcd(n-m,L)≠0 即gcd不整除c时 或者m=n时 即m-n=0 无解 否则跳到第3步
3. 有解后：设d=gcd(n-m,L)     特解为x=x*(X-Y)/d 即x0=x1*c1    通解为x=x*(X-Y)/d+k(L/d) 即x=x0+k*b1
4. 最小正整数解ans=(x%(L/d)+L/d)%(L/d) 即ans=(x%b1+b1)%b1

代码:

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
ll x,y,m,n,l;
void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        d=a;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,x,y);
        int t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*y;
    }
}
int main()
{
    ll a,b,d;
    cin>>x>>y>>m>>n>>l;
    if(n<m)
    {
        swap(m,n);
        swap(x,y);//保证n-m>0 
    }
    exgcd(n-m,l,d,a,b);//求出特解x0 
    if((x-y)%d!=0||m==n)
    cout<<"Impossible
";//无解情况 
    else
    cout<<(a*(x-y)/d%(l/d)+(l/d))%(l/d)<<endl;//输出最小正整数解 
}