铁板铮铮♂+习题集

数论

快速幂

当b为偶数：a^b=a^b/2* a^b/2

当b为奇数：a^b=a^b/2* a^b/2* a

核心代码：

ll quickpow(ll a,ll b)
{       
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b%2==1)
        ret=ret*a%P;
        a=a*a%P;
        b/=2;
    }
    return ret;
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P1965	【NOIP2013TG】转圈游戏	简单推导公式
洛谷P3197	【HNOI2008】越狱	与组合数学结合+容斥

线性筛

#include<iostream>
using namespace std;
#define maxn 10000001
int prime[maxn],v[maxn],f[maxn];//prime为素数表
                                //v为每个数的最小质因子 
                                //f数组判断是否是素数 
int n,m,k;
void primes(int n)
{
    k=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)//从2开始 
    {
        if(v[i]==0) 
        {
            v[i]=i;//i是质数，则i的最小质因子为本身 
            prime[++k]=i;
            f[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]*i>n) break;
            //如果i有比prime[j]更小的质因子
            //或者超出n的范围 
            v[i*prime[j]]=prime[j];//prime[j]是合数i*prime[j]的最小质因子 
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    primes(n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        if(f[x]==1)
        cout<<"Yes"<<endl;
        else
        cout<<"No"<<endl;
    }
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P3383	线性筛素数	模板题
洛谷P2926	【USACO08DEC】Patting Heads	特殊筛法
Codeforces 776B	Sherlock and his girlfriend	特判+筛法

质因数分解

void divide(int x)
{
    m=0; 
    for(int i=2;i*i<=n;i++)//一个数至多只有一个大于根号n的质因子
                           //所以后面特判 前面只要到根号n 
    {
        if(n%i==0)//i是质数 
        {
            p[++m]=i;
            c[m]=0;
        }
        while(n%i==0)
        {
            n=n/i;//除掉所有的i 
            c[m]++; //i的指数加1 
        }
    }
    if(n>1)//特判大于根号n的那个 
    {
        p[++m]=n;
        c[m]=1; 
    }
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P1075	【NOIP2012PJ】质因数分解	模板题
洛谷P1463	【HAOI2007】反素数	搜索+约数个数

gcd与lcm

辗转相除法求gcd

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
    return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

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求lcm:

a*b=gcd(a,b)*lcm(a,b)

习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P1072	【NOIP2009TG】Hankson的趣味题	推导

扩展欧几里得exgcd

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    int t;
    if(b==0)//当b=0时 gcd(a,b)=a
            //因为1*a+0*0=a 所以ax+by=gcd(a,b)有一组解为
            //x=1 y=0 
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0; 
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,x,y);
        t=x;//推导得公式 
        x=y;
        y=t-(a/b)*y;
    }
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P1516	青蛙的约会	简单推导公式
洛谷P1082	【NOIP2012TG】同余方程	模板题
洛谷P2421	【NOI2002】荒岛野人	推导公式+条件判断

乘法逆元

对于a/b mod p（b和p互质）

First 费马小定理：

如果b和p互质则b^p≡b（mod p）

由此可得b^p-1≡1（mod p）结合求逆元方程b*x≡1（mod p）得到b^p-1≡b*x（mod p)

所以x≡b^p-2（mod p）结合快速幂求出x

#include<cstdio> 
#define ll long long
using namespace std;
int n,p;
inline ll ksm(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    a%=p;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans%p;
}
void write(ll x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);putchar(x%10^48);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        write(ksm(i,p-2)),putchar('
');
    return 0;
}

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Second 解不定方程

解a*x≡1（mod p）等于解ax+py=1

因为p是质数所以gcd(a,p)=1;

即解ax+py=gcd(a,p) 用exgcd解x

#include<cstdio>
using namespace std;
int x,y;
void exgcd(int a,int b){
    if(!b){x=1,y=0;return ;}
    exgcd(b,a%b);
    int t=x;
    x=y,y=t-a/b*y;
}
void write(int x){
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10^48);
}
int main(){
    int n,p;
    scanf("%d%d",&n,&p);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        exgcd(i,p),write((x%p+p)%p),putchar('
');
    return 0;
}

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Third 线性递推

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=3e6+5;
ll inv[maxn]={0,1};
int main(){
    int n,p;
    scanf("%d%d",&n,&p);
    printf("1
");
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=(ll)p-(p/i)*inv[p%i]%p,printf("%d
",inv[i]);
    return 0;
}

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习题集
题目号	题目名	注释
POJ1845	Sumdiv	约数和+模板

中国剩余定理

对于多个x≡a_i(mod m_i)

M=∏ⁿ_i=1m_i M_i=M/m_i

t_i是线性同余方程M_i*t_i≡1(mod m_i)的一个解

x=∑ⁿ_i=1a_i*M_i*t_i

int intchina(int n)
{
    int Mi,x,y,d,ans=0;
    M=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    M*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        Mi=M/m[i];
        exgcd(Mi,m[i],d,x,y);
        ans=(ans+Mi*x*a[i])%M;
    }
    return (ans+M)%M;
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P1495	曹冲养猪	模板题
UVA756	Biorhythms	模板+特殊解

Lucas定理

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define LL long long
LL T,n,m,p;
LL quickpow(LL a,LL b)
{
    LL ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
LL C(LL n,LL m)
{
    if(m>n) return 0;
    LL a=1,b=1;
    for(LL i=n-m+1;i<=n;i++)
    a=a*i%p;//计算n!/(n-m)! 
    for(LL i=2;i<=m;i++)
    b=b*i%p;//计算1/m! 
    return a*quickpow(b,p-2)%p;//费马小定理求逆元 
}
LL Lucas(LL n,LL m)
{
    if(!m) return 1;
    else return (C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p))%p;//递推公式 
}
int main()
{
    scanf("%lld",&T);
    while(T)
    {
        T--;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        printf("%lld
",Lucas(n,m));
    }
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P3807	卢卡斯定理	模板题

组合排列问题

组合：A(n,m)=n(n-1）*（n-2）*……*（n-m+1）= n!/(n-m)!

排列：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!(n-m)!)

习题集
题目名	题目号	注释
洛谷P1066	【NOIP2006TG】2^k进制数	复杂高精+组合推导（有点难）
洛谷P2822	【NOIP2016TG】组合数问题	二维前缀和+杨辉三角
洛谷P1350	车的放置	推导矩阵公式
洛谷P3166	【CQOI2004】数三角形	组合+GCD
洛谷P2532	【AHOI2012】树屋阶梯	卡特兰数+高精
洛谷P3200	【HNOI2009】有趣的数列	卡特兰数+质因数分解
洛谷P1375	小猫	卡特兰数+逆元

动态规划

区间DP

枚举所有在i与j之间的k

把一段区间分成两段为两个状态

如果是环形可以考虑断环成链开数组2n

初始化 f[i][i]=1或者权值

答案要枚举所有的左端点到后n位

核心代码：

     f1[i][j]=max(f1[i][j],f1[i][k]+f1[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
        f2[i][j]=min(f2[i][j],f2[i][k]+f2[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P1880	【NOI1995】石子合并	断链成环
洛谷P1063	能量项链	中等难度
洛谷P2426	删数	从两边删除区间
洛谷P3146	【USACO160PEN】248	类似2048游戏
洛谷P1005	【NOIP2007TG】矩阵取数游戏	高精+翻倍
洛谷P3205	【HNOI2010】合唱队	用两个数组

状压DP

把多个元素的状态进行压缩成阶段进行DP

一般数据规模中有一个或者几个元素的规模很小

大多可以把状态转化为二进制数用位运算求解

习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P1896	【SCOI2005】互不侵犯	经典例题
洛谷P1879	【USACO06NOV】Corn Fields	基本操作
洛谷P3959	【NOIP2017TG】宝藏	状压+DFS

图论

并查集：

#include<iostream>
using namespace std;
int father[5001];
int n,m,p;
int find(int x)
{
    if(father[x]!=x)//路径压缩优化
    father[x]=find(father[x]);//把路上的所有点祖先全部改掉
    return father[x];
}
void unionn(int x,int y)
{
    father[y]=x;//y的祖先为x的祖先
                //相当于合并祖先
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>p;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        father[i]=i;//所有数据初始祖先为自己
                    //独立的一个数为一个集合
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        int r1,r2;
        r1=find(x);
        r2=find(y);//寻找两个数的祖先
        if(r1!=r2)//如果不是同一个祖先
        {
            unionn(r1,r2);//合并
        }
    }
    for(int i=1;i<=p;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        if(find(x)==find(y))//如果是同一个祖先
        {
            cout<<"Yes"<<endl;//是
        }
        else
        cout<<"No"<<endl;//否
    }
    
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P3367	【模板】并查集	如题
洛谷P2024	【NOI2001】食物链	搞好三者关系
洛谷P1525	关押罪犯	排序+并查集
洛谷P1111	修复公路	eazy
洛谷P1197	【JSOI2008】星球大战	逆向思维

最小生成树：

Kruskal

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct edge
{
    int l,r,w;//左端点 右端点 权值 
}e[200001];
int father[5001];
int n,m,k=0,tot;
bool cmp(const edge &a,const edge &b)//用权值排序 
{
    if (a.w<b.w) return 1;
    else return 0;
}
int find(int x)
{
    if(father[x]!=x)
    father[x]=find(father[x]);
    return father[x];
}
void unionn(int x,int y)
{
    int fa=find(x);
    int fb=find(y);
    if(fa!=fb)
    father[fa]=fb;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    father[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>e[i].l>>e[i].r>>e[i].w;
    }
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(find(e[i].l)!=find(e[i].r))
        {
            unionn(e[i].l,e[i].r);
            tot+=e[i].w;
            k++;
        }
        if(k==n-1) break;//到n-1条时退出 
    }
    cout<<tot;
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P3366	【模板】最小生成树	如题
洛谷P1195	口袋的天空	处理边的关系
洛谷P2330	【SCOI2005】繁忙的都市	记下最大值

强连通分量：

Tarjan

void Tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++num;
    vis[u]=1;
    st[++top]=u;//入栈
    for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            Tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);//low表示u与其子孙到达的最小编号 
        }
        else
        if(vis[v])//判断v是否在栈中
        {
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
            //可以改成 min(low[u],low[v])
            //因为此时v的low和dfn还未修改 
        }
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        col++;
        while(st[top+1]!=u)
        {
            co[st[top]]=col;//属于第col个强连通分量 
            vis[st[top--]]=0;
        }
    }
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P2341	【HAOI2006】受欢迎的牛	缩点+小思想
洛谷P1262	间谍网络	缩点+最小值
洛谷P3627	【APIO2009】抢掠计划	缩点+SPFA

数据结构

线段树

带Lazy-Tag的区间修改和区间查询

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 100007
#define ll long long
ll sum[maxn<<2],add[maxn<<2],a[maxn],n,m;
void build(ll l,ll r,ll k)//建树 [l,r]中 编号为k的区间 
{
    if(l==r)//叶子节点 
    {
        sum[k]=a[l];
        return;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,k<<1);//左子树 
    build(mid+1,r,k<<1|1);//右子树 
    sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];//更新区间和 
}
void Add(ll l,ll r,ll v,ll k)//给定区间[l,r]中所有的数加上v 
{
    add[k]+=v;//打标记 
    sum[k]+=(r-l+1)*v;//维护对应区间和 
    return;
}
void pushdown(ll l,ll r,ll mid,ll k)//标记下传 
{
    if(add[k]==0) return;//如果没有标记 就退出 
    Add(l,mid,add[k],k<<1);//传给左子树 
    Add(mid+1,r,add[k],k<<1|1);//传给右子树 
    add[k]=0;//传完之后清楚标记 
}
void update(ll x,ll y,ll v,ll l,ll r,ll k)//更新定区间[x,y]中 区间[l,r]第k个区间 
{
    if(l>=x&&r<=y) return Add(l,r,v,k);//当这个定区间包含区间[l,r] 则更新区间[l,r]的值 
    ll mid=(l+r)>>1;
    pushdown(l,r,mid,k);//标记下传 
    if(x<=mid) update(x,y,v,l,mid,k<<1);//更新左子树 
    if(mid<y) update(x,y,v,mid+1,r,k<<1|1);//更新右子树 
    sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];//更新下传后当前正确的sum值 
}
ll query(ll x,ll y,ll l,ll r,ll k)//查询定区间[x,y]中 区间[l,r]第k个区间 
{   
    if(l>=x&&r<=y) return sum[k];//当这个定区间包含区间[l,r] 返回区间[l,r]的值 
    ll mid=(l+r)>>1;
    ll res=0;
    pushdown(l,r,mid,k);//标记下传 
    if(x<=mid) res+=query(x,y,l,mid,k<<1);//如果左子树还有值 就加上左子树 
    if(y>mid) res+=query(x,y,mid+1,r,k<<1|1);//同上右子树 
    return res;//返回值 
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(ll i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    build(1,n,1);//建原树 
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        ll x,y,z;
        cin>>x;
        if(x==1)
        {
            cin>>x>>y>>z;
            update(x,y,z,1,n,1);//更新值 
        }
        else
        {   
            cin>>x>>y;
            cout<<query(x,y,1,n,1)<<endl;//查询区间 
        }
    }
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P3372	线段树1	加法模板
洛谷P3373	线段树2	加法+乘法
洛谷P2023	【AHOI2009】维护序列	加法+乘法
洛谷P1198	【JSOI2008】最大值	水题
洛谷P4145	花神游历各国	区间开方

树状数组

单点修改+区间查询

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
int tree[2000010];
int lowbit(int k)
{
    return k & -k;//补码原则 
}
void add(int x,int k)
{
    while(x<=n)
    {
        tree[x]+=k;
        x+=lowbit(x);//根据二进制原理加上本身的lowbit等于下一个值 
    }
}
int sum(int x)
{
    int ans=0;
    while(x!=0)
    {
        ans+=tree[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans; 
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);//取消cincout的时间
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        add(i,x);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        if(a==1)
        add(b,c);//在b的位置加上c 
        if(a==2)
        cout<<sum(c)-sum(b-1)<<endl;//前缀和相减 
    }
}

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区间修改+单点查询

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
int tree[500010];
int num[500010];
int lowbit(int k)
{
    return k & -k;//补码原则 
}
void add(int x,int k)
{
    while(x<=n)
    {
        tree[x]+=k;
        x+=lowbit(x);//根据二进制原理加上本身的lowbit等于下一个值 
    }
}
int sum(int x)
{
    int ans=0;
    while(x!=0)
    {
        ans+=tree[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans; 
}
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>num[i];
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a;
        cin>>a;
        if(a==1)
        {
            int x,y,z;
            cin>>x>>y>>z;
            add(x,z);
            add(y+1,-z);//把前面加上的多余减掉 
        }
        if(a==2)
        {
            int x;
            cin>>x;
            cout<<num[x]+sum(x)<<endl;//把原来的数加上后来加的 
        } 
    }
}

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倍增求LCA

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 500050
#define INF 1e9+7
int n,m,cnt,ans,a,b,k,x,y;
int h[maxn],dep[maxn],f[maxn][30];
struct Edge
{
    int next;
    int to;
}e[maxn<<1];
void add(int u,int v)
{
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=h[u];
    h[u]=cnt;
}
void deal(int u,int fa)
{
    dep[u]=dep[fa]+1;//子节点深度等于父节点+1 
    for(int i=1;i<=21;i++)
    {
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];//计算u的2^k辈祖先 
    }
    for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(v==fa) continue;//如果是父节点就退出 
        f[v][0]=u;//v是u的子节点 
        deal(v,u);
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);//如果x的深度比y小 就交换 
    for(int i=21;i>=0;i--)//从大到小循环 先走大步 如果不行在走小步 
    {
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];//当走完深度还是大于y 就走 
        if(x==y) return x;//当x=y时 找到LCA 
    }
    for(int i=21;i>=0;i--)//此时x和y已经在同一层了 
    {
        if(f[x][i]!=f[y][i])//如果往上走之后还没有到LCA 就往上走 
        {
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    }
    return f[x][0];//返回LCA 
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);//无向图 
    }
    deal(1,0);//预处理 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d
",lca(x,y));
    }
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P4180	【BJWC2010】严格次小生成树	kruskal+求LCA
洛谷P4281	【AHOI2008】紧急集合	求三个点的LCA
POJ 3417	Network	树上差分+LCA
洛谷P1967	【NOIP2013TG】货车运输	kruskal+求LCA

字符串

#include<iostream>
#include<cstring>
#define MAXN 1000010
using namespace std;
char a[MAXN],b[MAXN];
int next[MAXN];
int la,lb,j; //j为所匹配到的最大的后缀的前缀最后一位 
int main()
{
    cin>>a+1;//从一开始存 
    cin>>b+1;
    la=strlen(a+1);
    lb=strlen(b+1);
    for(int i=2;i<=lb;i++)//匹配匹配串 
    {
        while(j&&b[j+1]!=b[i])//判j不为零因为在第一位就不用往前找了
                              //如果不匹配就往前找 
        j=next[j];
        if(b[j+1]==b[i])//匹配就往下推 
        j++;
        next[i]=j;
    }
    j=0;
    for(int i=1;i<=la;i++)//匹配文本串 同上 
    {
        while(j&&b[j+1]!=a[i])
        j=next[j];
        if(b[j+1]==a[i])
        j++;
        if(j==lb)//找到一个匹配串输出位置 
        cout<<i-lb+1<<endl;
    }
    for(int i=1;i<=lb;i++)
    cout<<next[i]<<" ";
}

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习题集
题目号	题目名	注释
洛谷P4319	【BOI2009】Radio Transmission	自我匹配
UVA10298	Power Strings	自我匹配
洛谷P3435	【POI2006】OKR-Periods of Words	谜之题面
洛谷P2375	【NOI2014】动物园	对next数组的深化

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原文地址：https://www.cnblogs.com/BrokenString/p/9462209.html

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