[JZOJ4685] 【NOIP2016提高A组8.12】礼物

Description

夏川的生日就要到了。作为夏川形式上的男朋友，季堂打算给夏川买一些生日礼物。
商店里一共有种礼物。夏川每得到一种礼物，就会获得相应喜悦值Wi（每种礼物的喜悦值不能重复获得）。
每次，店员会按照一定的概率Pi（或者不拿出礼物），将第i种礼物拿出来。季堂每次都会将店员拿出来的礼物买下来。
众所周知，白毛切开都是黑的。所以季堂希望最后夏川的喜悦值尽可能地高。
求夏川最后最大的喜悦值是多少，并求出使夏川得到这个喜悦值，季堂的期望购买次数。

Input

第一行，一个整数N，表示有N种礼物。
接下来N行，每行一个实数Pi和正整数Wi，表示第i种礼物被拿出来的概率和可以获得喜悦值。

Output

第一行，一个整数表示可以获得的最大喜悦值。
第二行，一个实数表示获得这个喜悦值的期望购买次数，保留3位小数。

Sample Input

3
0.1 2
0.2 5
0.3 7

Sample Output

14
12.167

Data Constraint

对于10%的数据，N = 1
对于30%的数据，N ≤ 5
对于100%的数据，N ≤ 20 ，0 < Wi ≤ 10^9 ，0 < Pi ≤ 1且∑Pi ≤ 1
注意：本题不设spj

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第一问是显然的， 把所有的权值加起来。

看着数据范围就知道是状压DP。

所以设$large f[S]$为已买状态为S的期望步数。

那么$large f[S] = sum f[S']*p[i] + (1 - sum p[i])*f[S]+1 $，因为有$large p[i]$的几率选到没选过的某一个， 有$large 1- sum p[i]$的几率选择之前选过的或者没有选到。

然后移项 $large f[S]=frac{sum p[i]*f[S']+1}{sum p[i]}$.

于是可以递推了。

复杂度$large O(2^{N})$

---

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
inline int read() {
    int res=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48), ch=getchar();
    return res;
}
#define ll long long
#define reg register
int n;
double p[25];
int w[25];
ll ans;
int bin[25];
double f[1<<22];

int main()
{
    bin[0] = 1;for (int i = 1 ; i <= 22 ; i ++) bin[i] = bin[i-1] << 1;
    n = read();
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        scanf("%lf", &p[i]), ans += (w[i] = read());
    printf("%lld
", ans);
    for (reg int S = 1 ; S <= (1 << n) - 1 ; S ++)
    {
        double tot = 0;
        for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        {
            if (S & bin[i-1])
                f[S] += f[S-bin[i-1]] * p[i], tot += p[i];
        }
        f[S] = (f[S] + 1) / tot;
    }
    printf("%.3lf
", f[(1<<n)-1]);
    return 0;
}