APIO2010 特别行动队 斜率优化DP

题目描述

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如 (i, i + 1, ..., i + k)(i,i+1,...,i+k) 的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 x = x_i + x_{i+1} + ... + x_{i+k}x=xi​+xi+1​+...+xi+k​ 。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 x':x'= ax^2+bx+cx′:x′=ax2+bx+c ，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4x1​=2,x2​=2,x3​=3,x4​=4 。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

输入输出格式

输入格式：

输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 x_1, x_2, …, x_nx1​,x2​,…,xn​ ，分别表示编号为 1, 2, …, n 的士兵的初始战斗力。

输出格式：

输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。

输入输出样例

输入样例#1： 

4 
-1 10 -20 
2 2 3 4 

输出样例#1： 

9

说明

20%的数据中，n ≤ 1000；

50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100

提交地址 ： Luogu ， 或者BZOJ

改天做一个斜率优化的专题， 到时候把题解补上， 先留着坑；

留下代码:(清晰易懂)

//By zZhBr
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define int long long

int n, a, b, c;
int sum[1000010];

int q[1000011], l, r;

int f[1000010];//考虑到第i个士兵的最大战斗力.
               //f[i] = f[i-1], f[i] = max(f[j] + a*(sum[i] - sum[j])^2 + b*(sum[i]-sum[j])+c);
               //f[i] = Y(i) - G(i) * X(j) + D;
               //X(i) = sum[i];
               //Y(i) = f[i] - b * sum[i] + a * sum[i] ^ 2;
               //G(i) = 2 * a * sum[i];
               //D = a * sum[i]^2 + b * sum[i] + c;

int G(int i)
{
    return 2 * a * sum[i];
}

int X(int i)
{
    return sum[i];
}

int Y(int i)
{
    return f[i] - b * sum[i] + a * sum[i] * sum[i];
}

int D(int i)
{
    return a * sum[i] * sum[i] + b * sum[i] + c;
}

double slope(int a, int b)
{
    return((double)(Y(b) - Y(a)) / (double)(X(b) - X(a)));
}


signed main()
{
    cin >> n >> a >> b >> c;
    
    for(register int i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        int t ;
        scanf("%lld", &t);
        sum[i] = sum[i-1] + t;
    }
    
    for(register int i = 1 ; i <= n ; i ++)
    {
        while(l < r && slope(q[l], q[l+1]) > G(i)) l++;
        int j = q[l];
        f[i] = Y(j) - G(i) * X(j) + D(i);
        while(l < r && slope(q[r-1], q[r]) <= slope(q[r], i)) r--;
        q[++r] = i;
        //f[i] = max(f[i], f[i-1]);
    }
    
    cout << f[n];
    return 0;
    
}