数据结构图之二（最小生成树--普里姆算法）

【1】什么是最小生成树？

对于连通的带权图(连通网)G，其生成树也是带权的。

生成树T各边的权值总和称为该树的权。

权最小的生成树称为G的最小生成树(Minimum SpannirngTree)。简记为MST。

注意：最小是指权值最小

一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它包含全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

求最小生成树有两种算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

不好理解？看不懂？能通俗点不？看个实例哈：

假设你是电信实施工程师，需要为一个镇的九个村庄架设通信网络做设计。

村庄位置大致如下图，之间连线的数字表示村与村间的可通达直线距离。

你们领导要求你必须用最小的成本完成这次任务。你说怎么办？

好，这就是很现实的一个最小生成树案例。且听下面详解。

【2】普里姆算法

利用 普里姆算法 要解决如上问题，首先我们构造图的邻接矩阵。如下图所示：

注意：实际中我们用65535来代表无穷大。

关于普里姆算法以及讲解如下图：

针对上面我们遇到的实际案例，普里姆算法执行循环过程如下图：

每次所选最小边分别如 图1-图8 所示：

最后用所有边把各个顶点连通也就是所谓的最小生成树。

【3】普里姆算法的实现

实现代码如下：

#include <iostream>
#include "SeqList.h"
#include <iomanip>
using namespace std;

#define  INFINITY  65535

template<class NameType, class DistType>
class Graph
{
private:
    SeqList<NameType> Vertices;
    DistType **Edges;
    int nVer, nEdges;

public:
    Graph() 
        : Edges(NULL)
        , nEdges(0)
        , nVer(0)
    {}
    ~Graph()
    {}

public:

    istream & operator>>(istream &in)
    {
        int v, u, value;
        int i, j;
        NameType item;
        cout << "请输入顶点的个数: " << endl;
        in >> nVer;
        cout << "请输入顶点的数据信息: " << endl;
        for (i = 0; i < nVer; ++i)
        {
            in >> item;
            Vertices.push_back(item);    // 保存全部顶点
        }
        /////二维数组的创建并初始化
        Edges = new DistType*[nVer]; // DistType *ar[10];
        for (i = 0; i < nVer; ++i)
        {
            Edges[i] = new DistType[nVer];
            for (j = 0; j < nVer; ++j)
            {
                Edges[i][j] = 0;
            }
        }
        cout << "请输入边的个数: " << endl;
        in >> nEdges;
        cout << "请输入边的信息：" << endl;
        for (i = 0; i < nEdges; ++i)
        {
            in >> v >> u >> value;
            Edges[v][u] = value;
            Edges[u][v] = value;
        }
        return in;
    }
    ostream & operator<<(ostream &out) const
    {
        int i, j;
        out << "顶点信息 " << endl;
        for (i = 1; i <= nVer; ++i)
        {
            out << Vertices[i] << setw(5);
        }
        out << endl;
        out << "矩阵信息：" << endl;
        out << setw(10);
        for (i = 1; i <= nVer; ++i)
        {
            out << Vertices[i] << setw(5);
        }
        out << endl;
        for (i = 0; i < nVer; ++i)
        {
            out << Vertices[i+1] << setw(5);
            for (j = 0; j < nVer; ++j)
            {
                if (0 == Edges[i][j] && i != j)
                    Edges[i][j] = INFINITY;
                cout << Edges[i][j] << setw(5);
            }
            out << endl;
        }
        out << endl;

        return out;
    }
    //  图采用邻接矩阵存储  最小生成树 普里姆算法
    void MiniSpanTree()  
    {  
        int min = 0, i = 0, j = 0, k = 0;
        int* adjvex = new  int[nVer];    // 保存相关顶点下标  
        int* lowcost = new int[nVer];    // 保存相关顶点间边的权值  
        lowcost[0] = 0;         // 初始化第一个权值为0，即V0已加入生成树
        //lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树    
        adjvex[0] = 0;          // 初始化第一个顶点下标为0  

        for (i = 1; i < nVer; ++i)  //循环除过下标为0外的全部顶点
        {  
            lowcost[i] = Edges[0][i];  // 将v0顶点与之有边的权值存入数组 
            adjvex[i] = 0;             // 并初始化都为v0的下标
        }  

        for (i = 1; i < nVer; ++i) 
        {  
            min = INFINITY;  // 初始化最小权值为常数，通常设置为不可能到达的数值
            k = 0;    // 复位

            for (j = 1; j < nVer; ++j)  
            {  
                // 如果两个顶点之间存在边有权值，不为0并且小于min  
                if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)  
                {  
                    min = lowcost[j];  // 缓存最小值
                    k = j;    // 将当前最小值的下标缓存入k
                }
            }  
            cout << "("<< adjvex[k] << "," << k << ")" << endl;   //打印当前顶点边中权值最小的边  
            lowcost[k] = 0;                     // 将当前顶点的权值设为0，表示此顶点已经完成任务  

            for (j = 1; j < nVer; ++j)  // 循环所有节点
            {  
                if (lowcost[j] != 0 && Edges[k][j] < lowcost[j])  
                {  // 若下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值
                    lowcost[j] = Edges[k][j]; // 用较小者替换  
                    adjvex[j] = k;  // 将下标为k的顶点存入adjvex
                }  
            }  
        }

        delete []adjvex;
        delete []lowcost;
        adjvex = NULL;
        lowcost = NULL;
    }
};

template<class NameType, class DistType>
istream & operator>>(istream &in, Graph<NameType,DistType> &g)
{
    g >> in;
    return in;
}

template<class NameType, class DistType>
ostream & operator<<(ostream &out, const Graph<NameType,DistType> &g)
{
    g << out;
    return out;
}

void main()
{
    Graph<char, int> myg;
    cin >> myg;
    cout << "打印所有输入信息：" << endl;
    cout << myg << endl;
    cout << "最小生成树边信息如下：" << endl;
    myg.MiniSpanTree();
    cout << endl;
}

代码中所引用是头文件SeqList.h从随笔《顺序表》拷贝即可，也可以自己另行处理。

Good  Good  Study,  Day  Day  Up.

顺序   选择   循环   总结