1.数据压缩
数据压缩不仅能够减小存储空间，并且能够加速学习算法。那么什么是数据压缩呢？下面给出了一个简单的例子：
图1.数据压缩的概念
举了两个例子，一个是横轴x1是厘米，纵轴特征x2是英尺，这明显是冗余的，但是在真正的实施过程中，这并不常见，这并不是一个好例子。
另一个例子是，横轴是驾驶员的技术，纵轴是驾驶员的快乐程度，曲线的含义是驾驶员的能力，那么比较明显的是，可以舍去驾驶员的快乐程度这个特征。即将数据集从2维转向1维。
图2.二维数据压缩
在图中，将绿线投影到一个轴上，那么如果点的排列方式能够一一对应，并且反映原来的顺序，那么就可以用其中一个特征来表示两个，从x(1)二维转换到z(1)一维，从而实现了数据压缩。这种方法能让算法运行的更快，同时也能够减少数据存储空间。
图2.三维数据压缩
在实际中，有将1000维压缩到100维的，但是不方便进行画图展示。如图中，三维的可以观察出数据基本上同一平面内，所以图2中就新构建了一个二维的平面图，将数据都投影到二维平面上，将三维降低到二维。
2.可视化
图3.高维数据
比如得到了各个国家的一个高维数据图，有很多指标，那么如何来进行可视化呢？如下图，选取几个指标来表示国家，比如两个：
图4.二维数据可视化
比如横轴表示国家的大小/GDP，纵轴表示，人均GDP的数量，从图中可对点进行现实意义的分析。
3.主成分分析问题规划1
图5.主成分问题规划
将数据从二维到一维，需要找到一个向量的方向，将其他点投影，这个方向是满足最小化投影误差。那么就可将数据降维。
从三维降到二维，需要两个投影向量组成一个平面，将其他点投影，作最小化投影误差。
从n维降到k维，就需要选k个向量进行投影，并且最小化投影误差。
那么从左图中看，PCA似乎和线性回归很像，那么二者之间有何关系呢？
实际两者是完全不同的算法，PCA是找到一个低维的平面进行数据的投影，以便最小化投影误差。
4.主成分分析问题规划2
图6.数据预处理
首先求出m个数据的均值每个维度的均值，并且对i个数据，每个对应的维度都变成平均的，图中下边给的公式是在有监督学习中，每个数据的i维-均值，并且除以s_j，通常是max-min或者是均方误差。这样让不同含义的数据都能够进行归一，又可以比较的值。
图7.主成分分析算法
首先，第一个公式中，左边的Σ不是求和符号，而是表示矩阵，那么它是一个n*n的矩阵，也就是协方差矩阵。
然后再计算协方差矩阵Σ的特征向量，可以使用svd函数。令协方差矩阵是正定矩阵。现在就可以用[U,S,V]是用svd命令来计算协方差矩阵。
图8.算法
取U的前k列，得到一个U_reduce是n*k的，那么用它的T*训练集中的每个x，最终会得到一个k维的向量，这个就是投影压缩之后的。