BZOJ3811: 玛里苟斯

$n leq 100000$个数问任选其一集合的集合元素异或值的$k,1 leq k leq 5$次方的期望。保证答案$<2^{63}$。

这个数据范围有点坑爹。。

$k=1$时，数字$<2^{63}$，考虑每一位的贡献。如果这一位全为0那么贡献为0，否则贡献一定为$frac{1}{2}*2^x$，$x$是当前数位。为啥呢，因为奇数个1和偶数个1的方案是一样多的。又为啥呢？组合数的奇数项和偶数项是一样多的。直接算。

$k=2$时，数字$<2^{32}$，考虑一个答案，$(b_mb_{m-1}...b_1b_0)*(b_mb_{m-1}...b_1b_0)$，产生这样的贡献，括号拆开就是$sum_{i=0}^msum_{j=0}^mb_ib_j2^{i+j}$，如此。因此枚举两位，然后看这两位的状态。如果这两位上某一位全是0就贡献0；这两位的组合只有11或者00这两种，那贡献1/2；否则贡献1/4。用线性基判断。

$k=3,4,5$时，数字$<2^21$，可以直接枚举线性基的所有组合。

这个diao题很容易爆longlong，可以把答案用带分数表示，因为分母总是一样的。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//#include<time.h>
//#include<complex>
//#include<set>
//#include<queue>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

#define LL unsigned long long
LL qread()
{
    char c; LL s=0; while ((c=getchar())<'0' || c>'9');
    do s=s*10+c-'0'; while ((c=getchar())>='0' && c<='9'); return s;
}

//Pay attention to '-' , LL and double of qread!!!!

int n,K;
#define maxn 200011

struct JI
{
    LL a[66]; int n;
    void clear() {n=0; memset(a,0,sizeof(a));}
    void insert(LL v)
    {
        for (int i=63;~i && v;i--) if ((v>>i)&1)
        {
            if (!a[i]) {a[i]=v; n++; break;}
            v^=a[i];
        }
    }
    LL qmax()
    {
        LL ans=0;
        for (int i=63;~i;i--) ((ans^a[i])>ans) && (ans^=a[i]);
        return ans;
    }
    void rebuild()
    {
        for (int i=63;~i;i--)
            for (int j=i-1;~j;j--)
                if ((a[i]>>j)&1) a[i]^=a[j];
    }
    LL p[66]; int lp;
    LL query(LL K)
    {
        lp=0; for (int i=0;i<=63;i++) if (a[i]) p[lp++]=a[i];
        if (K>=(1ll<<lp)) return -1;
        LL ans=0;
        for (int i=lp-1;~i;i--) if ((K>>i)&1) ans^=p[i];
        return ans;
    }
    LL qmax(LL v)
    {
        LL ans=v;
        for (int i=63;~i;i--) (((ans>>i)&1)==0 && (ans^=a[i]));
        return ans;
    }
}ji;

void solve1()
{
    LL ans=0;
    for (int i=0;i<=63;i++)
    {
        bool flag=0;
        for (int j=0;j<=63;j++) if ((ji.a[j]>>i)&1) flag=1;
        if (flag) ans+=1ll<<i;
    }
    printf("%llu",(LL)(ans/2));
    if (ans&1) printf(".5");
}

void solve2()
{
    LL ans=0,res=0;
    for (int i=0;i<=31;i++)
        for (int j=0;j<=31;j++)
        {
            bool c1,c2,c3,c4; c1=c2=c3=c4=0;
            for (int k=0;k<=31;k++)
            {
                if (((ji.a[k]>>i)&1)==1 && ((ji.a[k]>>j)&1)==1) c1=1;
                if (((ji.a[k]>>i)&1)==1 && ((ji.a[k]>>j)&1)==0) c2=1;
                if (((ji.a[k]>>i)&1)==0 && ((ji.a[k]>>j)&1)==1) c3=1;
                if (((ji.a[k]>>i)&1)==0 && ((ji.a[k]>>j)&1)==0) c4=1;
            }
            if (!(c1 || c3) || !(c1 || c2)) continue;
            if (!(c3 || c2))
            {
                if (i+j>0) ans+=(1ll<<(i+j-1));
                else res+=2;
            }
            else
            {
                if (i+j>1) ans+=(1ll<<(i+j-2));
                else res+=(1<<(i+j));
            }
        }
    printf("%llu",ans+(res>>2));
    if (res&3) printf(".5");
}

LL p[66]; int lp=0;
void solve3()
{
    for (int i=0;i<=63;i++) if (ji.a[i]) p[lp++]=ji.a[i];
    LL ans=0,res=0;
    for (int i=0;i<(1<<lp);i++)
    {
        LL now=0;
        for (int j=0;j<lp;j++) if ((i>>j)&1) now^=p[j];
        LL x=0,y=1;
        for (int j=0;j<K;j++)
        {
            x*=now; y*=now;
            x+=y>>lp; y=y&((1<<lp)-1);
        }
        res+=y; ans+=x;
    }
    printf("%llu",ans+(res>>lp));
    if (res&((1<<lp)-1)) printf(".5");
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&K);
    for (int i=1;i<=n;i++) ji.insert(qread());
    ji.rebuild();
    if (K==1) solve1();
    else if (K==2) solve2();
    else solve3();
    return 0;
}