一道题2

求：$sum_{m=1}^{n}sum_{p=1}^{M}sum_{q=p+1}^{M}[(p,q)=1][p+qgeqslant M]frac{1}{pq}$保留四位小数，$nleqslant 1e7$。

$sum_{M=1}^{n}sum_{p=1}^{M}sum_{q=p+1}^{M}[(p,q)=1][p+qgeqslant M]frac{1}{pq}$

闪一句，重要套路：$sum_{a,b}I ((a,b))=sum_{d|a,d|b}mu(d)$，然后把$mu(d)$提前面去算系数。

$=sum_{M=1}^{n}sum_{p=1}^{M}sum_{q=p+1}^{M}[p+qgeqslant M]frac{1}{pq}sum_{d|p,d|q}mu(d)$

闪一句：这里易错，不是$sum_{p=1}^{M}sum_{q=p+1}^{M}[(p,q)=d]$，而是$sum_{p=1}^{M}sum_{q=p+1}^{M}[d|(p,q)]$。

$=sum_{M=1}^{n}sum_{d=1}^{M}mu(d)sum_{p=1}^{M}sum_{q=p+1}^{M}frac{1}{pq}[p+qgeqslant M]$

闪一句：这里压p,q的边界，把条件写草稿纸上确定新的变量的取值范围。

$=sum_{M=1}^{n}sum_{d=1}^{M}mu(d)sum_{x=1}^{left lfloor frac{M}{d} ight floor}sum_{y=x+1}^{left lfloor frac{M}{d} ight floor}frac{1}{xyd^2}[xd+ydgeqslant M]$

闪一句：这里易错，两边除一个数时记得判断是否整除会不会对答案有影响。

下面这句之所以这么变：

$M mod d=0$:两边直接除d没啥关系。

$M mod d eq 0$:

$x+y=left lfloor frac{M}{d} ight floorRightarrow xd+yd=left lfloor frac{M}{d} ight floor*d<M ( imes )$

$x+y>left lfloor frac{M}{d} ight floorRightarrow xd+ydgeqslant (left lfloor frac{M}{d} ight floor+1)*dgeqslant M(sqrt )$

闪一句：下面继续。

$=sum_{M=1}^{n}sum_{d=1}^{M}frac{mu(d)}{d^2}sum_{x=1}^{left lfloor frac{M}{d} ight floor}sum_{y=x+1}^{left lfloor frac{M}{d} ight floor}frac{1}{xy}([x+ygeqslant left lfloor frac{M}{d} ight floor]-[x+y=left lfloor frac{M}{d} ight floor][M mod d eq 0])$

闪很多句：这里遇到了一个疑似可以解决（因为题解解决了。。。）的两个小式子：

$T(n)=sum_{p=1}^{n}sum_{q=p+1}^{n}[p+qgeqslant n]frac{1}{pq}$

以及

$G(n)=sum_{p=1}^{n}sum_{q=p+1}^{n}[p+q=n]frac{1}{pq}$.

先看$G(n)$:

$G(n)=sum_{p=1}^{n}sum_{q=p+1}^{n}[p+q=n]frac{1}{pq}$

$=frac{1}{2}(sum_{p=1}^{n-1}frac{1}{p(n-p)}-frac{1}{(frac{n}{2})^2}[n mod 2=0])$

$=frac{1}{2}(sum_{p=1}^{n-1}frac{1}{n}(frac{1}{p}+frac{1}{n-p})-frac{4}{n^2}[n mod 2=0])$

$=frac{1}{2}(2sum_{p=1}^{n-1}frac{1}{np}-frac{4}{n^2}[n mod 2=0])$

$=frac{F(n-1)}{n}-frac{2}{n^2}[n mod 2=0]$

这里$F(n)=sum_{p=1}^{n}frac{1}{p}$.

$T(n)=sum_{p=1}^{n}sum_{q=p+1}^{n}[p+qgeqslant n]frac{1}{pq}$

$=sum_{p=1}^{n-1}sum_{q=p+1}^{n-1}frac{1}{pq}([p+qgeqslant n-1]-[p+q=n-1])+sum_{p=1}^{n-1}frac{1}{np}$

$=T(n-1)-G(n-1)+frac{F(n-1)}{n}$.

OK那我们继续：

$S(n)=sum_{M=1}^{n}sum_{d=1}^{M}frac{mu(d)}{d^2}sum_{x=1}^{left lfloor frac{M}{d} ight floor}sum_{y=x+1}^{left lfloor frac{M}{d} ight floor}frac{1}{xy}([x+ygeqslant left lfloor frac{M}{d} ight floor]-[x+y=left lfloor frac{M}{d} ight floor][M mod d eq 0])$

$=sum_{M=1}^{n}sum_{d=1}^{M}frac{mu(d)}{d^2}(T(left lfloor frac{M}{d} ight floor)-G(left lfloor frac{M}{d} ight floor)[M mod d eq 0])$

闪一句：对每一个d，所有M：$dleqslant Mleqslant n$都会被枚举到。因此

$=sum_{d=1}^{n}frac{mu(d)}{d^2}sum_{M=d}^{n}(T(left lfloor frac{M}{d} ight floor)-G(left lfloor frac{M}{d} ight floor)[M mod d eq 0])$。

枚举倍数，$nln(n)$搞定。

话说有$O(n)$做法，但是。。等我心情平复了再来看。