CF995F Cowmpany Cowmpensation

题目链接：http://codeforces.com/contest/995/problem/F

题目大意：

　　给定一棵 (n) 个节点的有根树（根为 (1) 号结点），为这棵树上的每一个结点赋值（赋值的范围为 ([1,D])），要求父结点的值不小于子结点值，问有多少种赋值方案。

　　(1 le n le 3000, 1 le D le 10^9)

知识点：　　树形DP、拉格朗日插值法

解题思路：

　　可以证明：对于一棵有 (n) 个结点的树，其答案是一个关于 (D) 的 (n) 次多项式 (f(D))。（虽然并不知道怎么证明......）

　　那么我们只需要用树形 (DP) 求出前 (n+1) 项：(f(0), f(1), f(2), ... f(n))，然后用拉格朗日插值法求出 (f(D)) 即可。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN=3005;
const LL MOD = 1e9 + 7;


LL powmod(LL x, LL y) {
    LL res = 1;
    x %= MOD;
    while (y) {
        if (y & 1)    res = res*x%MOD;
        y >>= 1;
        x = x*x%MOD;
    }
    return res;
}
namespace Polysum {
    //拉格朗日插值法对多项式求和
    const int D = 3010;
    //    LL a[D];  自改，待议
    LL f[D], g[D], p[D], p1[D], p2[D], b[D], h[D][2], C[D];

    LL calcn(int d, LL *a, LL n) {
        if (n <= d)        return a[n];
        p1[0] = p2[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= d; i++) {
            LL t = (n - i + MOD) % MOD;
            p1[i + 1] = p1[i] * t%MOD;
        }
        for (int i = 0; i <= d; i++) {
            LL t = (n - d + i + MOD) % MOD;
            p2[i + 1] = p2[i] * t%MOD;
        }
        LL ans = 0;
        for (int i = 0; i <= d; i++) {
            LL t = g[i] * g[d - i] % MOD*p1[i] % MOD*p2[d - i] % MOD*a[i] % MOD;
            if ((d - i) & 1)        ans = (ans - t + MOD) % MOD;
            else
                ans = (ans + t) % MOD;
        }
        return ans;
    }
    void init(int M) {
        f[0] = f[1] = g[0] = g[1] = 1;
        for (int i = 2; i < M + 5; i++)
            f[i] = f[i - 1] * i%MOD;
        g[M + 4] = powmod(f[M + 4], MOD - 2);
        for (int i = M + 3; i >= 1;i--)
            g[i] = g[i + 1] * (i + 1) % MOD;
    }
    //对于给定的 x+1 个点，对应于它们的次数不超过 x 的拉格朗日多项式只有一个
    //因此，如果我们要求和的多项式的最高项是 m-1，那么我们就要输入其前 m 个点
    LL polysum(LL n, LL *a, int m) {
        //输入 a[] 的前 m 项：a[1], a[2], ..., a[m]
        //输出 a[] 的前 n 项之和： sum_{i=0}^{n-1} a[i]
        //    LL b[D];  自改，待议
        for (int i = 0; i <= m; i++)    b[i] = a[i];
        b[m + 1] = calcn(m, b, m + 1);
        for (int i = 1; i < m + 2; i++)
            b[i] = (b[i - 1] + b[i]) % MOD;
        return calcn(m + 1, b, n - 1);
    }
    LL qpolysum(LL R, LL n, LL *a, int m) {
        //输入 a[] 的前 m+1 项：a[1], a[2], ..., a[m]
        //输出 a[x]*R^x 的前 n 项之和：sum_{i=0}^{n-1} a[i]*R^i
        if (R == 1)    return polysum(n, a, m);
        a[m + 1] = calcn(m, a, m + 1);
        LL r = powmod(R, MOD - 2);
        LL p3 = 0, p4 = 0, c, ans;
        h[0][0] = 0, h[0][1] = 1;
        for (int i = 1; i < m + 2;i++){
            h[i][0] = (h[i - 1][0] + a[i - 1])*r%MOD;
            h[i][1] = h[i - 1][1] * r%MOD;
        }
        for (int i = 0; i < m + 2; i++) {
            LL t = g[i] * g[m + 1 - i] % MOD;
            if (i & 1) p3 = ((p3 - h[i][0] * t) % MOD + MOD) % MOD, p4 = ((p4 - h[i][1] * t) % MOD + MOD) % MOD;
            else p3 = (p3 + h[i][0] * t) % MOD, p4 = (p4 + h[i][1] * t) % MOD;
        }
        c = powmod(p4, MOD - 2)*(MOD - p3) % MOD;
        for (int i = 0; i < m + 2; i++)
            h[i][0] = (h[i][0] + h[i][1] * c) % MOD;
        for (int i = 0; i < m + 2; i++)
            C[i] = h[i][0];
        ans = (calcn(m, C, n)*powmod(R, n) - c) % MOD;
        if (ans < 0)    ans += MOD;
        return ans;
    }
}

vector<int> G[MAXN];
LL dp[MAXN][MAXN],pre[MAXN][MAXN];
int n;
void dfs(int rt){
    bool flag=false;
    for(int i=0;i<G[rt].size();i++){
        int v=G[rt][i];
        dfs(v);
        flag=true;
    }
    for(int j=1;j<=n;j++)   dp[rt][j]=1;
    if(flag){
        for(int i=0;i<G[rt].size();i++){
            int v=G[rt][i];
            for(int j=1;j<=n;j++){
                dp[rt][j]=dp[rt][j]*pre[v][j]%MOD;
            }
        }
    }
    pre[rt][1]=dp[rt][1];
    for(int j=2;j<=n;j++)
        pre[rt][j]=(pre[rt][j-1]+dp[rt][j])%MOD;
}
int main(){
    LL D;
    scanf("%d%lld",&n,&D);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int t;
        scanf("%d",&t);
        G[t].push_back(i);
    }
    dfs(1);
    Polysum::init(MAXN);
    printf("%lld
",Polysum::calcn(n,pre[1],D));

    return 0;
}