SPOJ-PGCD Primes in GCD Table

题目链接：https://vjudge.net/problem/SPOJ-PGCD

题目大意：

　　给定 (N) 和 (M)，求满足 ((1 le x le N), (1 le y le M))，且 (gcd(x,y)) 为素数的 ((x,y)) 的对数。

知识点：　　莫比乌斯反演

解题思路：

　　设 (g(p)) 表示满足 ((1 le x le N), (1 le y le M))，且 (gcd(x,y) = p) 的 ((x,y)) 的对数。直接求 (g(p)) 是不可行的，其时间复杂度为 (O(NM)).

　　再设 (f(p)) 表示满足 ((1 le x le N), (1 le y le M))，且 (p|gcd(x,y)) 的 ((x,y)) 的对数，易知 (f(p)=(N/p)*(M/p))。且不难推出 (f(n) = sum limits_{n|d} g(d)).　　　　((1))

　　莫比乌斯反演公式：若满足 (F(n) = sum limits_{n|d} f(d))，则有 (f(n) = sum limits_{n|d} mu(frac{d}{n})F(d)).

　　将其代入式 ((1)) 得：

　　(g(n) = sum limits_{n|d} mu(frac{d}{n})f(d) = sum limits_{n|d} mu(frac{d}{n})(N/d)(M/d))　　((2))

　　最终的答案为（(p) 代表质数）：

　　(sum limits_{p} g(p) = sum limits_{p} sum limits_{p|d} mu(frac{d}{p})(N/d)(M/d))

　　　　　　(= sum limits_{d}^{min(M,N)} (N/d)(M/d) sum limits_{p|d} mu(frac{d}{p}))　　((3))

第二个求和函数可以预处理，枚举每一个质数，更新对应的前缀和。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1e7+5;
bool check[maxn];
int prime[maxn],Mobius[maxn];
int tot;
int u[maxn];

void init(){
    Mobius[1]=1;
    tot=0;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!check[i]){
            prime[tot++]=i;
            Mobius[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<maxn;j++){
            check[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0){
                Mobius[i*prime[j]]=0;
                break;
            } else
                Mobius[i*prime[j]]=-Mobius[i];
        }
    }
    for(int i=0;i<tot;i++){
        for(int j=prime[i];j<maxn;j+=prime[i]){
            u[j]+=Mobius[j/prime[i]];   // u[j] 代表分子为 j(对应式3中的d) 的和函数的值
        }
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++) u[i]+=u[i-1];   //处理出前缀和
}
int main(){
    init();
    int t,n,m;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        LL ans=0;
        int last;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=min(n,m);i=last+1){
            last=min(n/(n/i),m/(m/i));  // [i,last] 这一段的 u[] 对应 (N/d)(M/d) 相等，不难用实验验证
            ans+=(LL)(n/i)*(m/i)*(u[last]-u[i-1]);
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}