Gym101635C Macarons

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题目大意：

　　给出一个 (N imes M) 的网格图，请你用 (1 imes 1) 和 (1 imes 2) 两种纸片填满该图，问有几种方案。

知识点：　　矩阵快速幂、DFS

解题思路：

　　做这道题如果没有思路的话，建议先看看 (Matrix67) 的这篇文章。这道题就是其中的经典题目九的变形。

　　由于列数很少，所以我们可以利用列与列之间的状态转移。

　　设矩阵 (Mat[state1][state2])，其代表填满当前列（当前列的初始状态为(state1)）并且使得下一列状态为 (state2) 的方案数（每一列的状态无非就是这一列哪些格子已经被填，哪些还没被填，我们可以用一个二进制数来表示状态）。

　　如此一来，我们就可以先用 (dfs) 来求出从第一列的各种状态转移到第二列的各种状态的方案数，然后求出 (Mat) 的 (M) 次幂 (ans) ，答案即为 (ans[0][0]).

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9;
struct Matrix {
    int mat[260][260];
};
Matrix Multiply(Matrix x, Matrix y, int n) {
    Matrix temp;
    memset(temp.mat, 0, sizeof(temp.mat));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                ll tmp=(ll)x.mat[i][k] * y.mat[k][j]%mod;
                temp.mat[i][j] = (int)(((ll)temp.mat[i][j]+tmp)%mod);
            }
        }
    }
    return temp;
}
Matrix Fast_Power(Matrix a, ll m, int n) {
    Matrix res;
    memset(res.mat, 0, sizeof(res.mat));
    for (int i = 0; i < n; i++)    res.mat[i][i] = 1;
    
    while (m) {
        if (m & 1)    res = Multiply(res, a, n);
        m >>= 1;
        a = Multiply(a, a, n);
    }
    return res;
}

Matrix ans;
void dfs(int org,int now,int nex,int n){
    int one[10],two[10];
    memset(one,0,sizeof(one));
    memset(two,0,sizeof(two));
    int tnex=nex,tnow=now;
    int ind=0;
    while(now){
        one[ind]=now%2;
        now>>=1;
        ind++;
    }
    bool flag=true;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(one[i]!=1){
            flag=false;
            break;
        }
    }

    if(flag){
        ans.mat[org][tnex]++;
        return;
    }
    ind=0;
    while(nex){
        two[ind]=nex%2;
        nex>>=1;
        ind++;
    }

    for(int i=0;i<n;i++){
        if(one[i]==0){
            dfs(org,tnow+(1<<i),tnex,n);
            dfs(org,tnow+(1<<i),tnex|(1<<i),n);
            if(i+1<n&&one[i+1]==0){
                dfs(org,tnow+(1<<i)+(1<<(i+1)),tnex,n);
            }//为了避免重复，我们不在下一列放置 2*1 的纸片
            break;
        }
    }
}
int main(){
  //  freopen("in.txt","r",stdin);
    int N;
    ll M;
    scanf("%d%lld",&N,&M);
    for(int i=0;i<(1<<N);i++)
        dfs(i,i,0,N);
    ans=Fast_Power(ans,M,(1<<N));
    printf("%d
",ans.mat[0][0]);
    return 0;
}