CF55D

题目大意：

　　定义：beautiful number，一种能整除它的所有非 0 数位的数字。

　　给你 l 和 r，请求出 [l,r] 中 beautiful number 的个数。

解题思路：

　　数位 DP 。

　　首先要指出的一点是：lcm(1,2,3, ... ,9) = 2520。则对于任何一个数 num，num = 2520k + num'，我们有 num % 2520 % t = num' % t = num % t (t = 1,2,3, ... , 9)，其实也不难理解：因为 2520k 必定被 t 整除，所以 num % t 其实就等于 num' % t 。下面是一个就 t % (x*n) % x = t % x 的严格证明：

　　设 t = k*x + t' 。则有 t%x = t' 。令 k = a*n+b，则 t % (x*n) % x = (k*x+t') % (x*n) % x = (a*n*x + b*x + t') % (n*x) % x = (b*x + t') % x = t' 。原等式得证。

　　如此一来，我们便可将所有的数字对着 2520 取一下模，压缩状态。

　　我们可以定义 dp[pos][now][prelcm]：其中 pos 表示当前遍历到的位置，now 表示当前数字的大小，prelcm 表示前面的几个数字的最小公倍数，如此我们需要定义 dp[20][2520][2521]，虽然已经十分优秀，但似乎还有点大？其实我们还可以用离散化来优化一下：虽说 lcm(1,2,3, ... ,9) = 2520，但我们绝对不可能取尽这两千多个数，你说对吧？

　　至于其他的，其实就都是套路了，数位 DP 其实也是有套路滴~

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 2520;
ll index[MOD+3];
ll dp[22][MOD][50];
int num[20];
void init(){
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=MOD;i++){
        if(MOD%i==0)    index[i]=cnt++;
    }
}
ll gcd(ll a,ll b){
    if(b==0)    return a;
    return gcd(b,a%b);
}
ll lcm(ll a,ll b){
    return a/gcd(a,b)*b;
}
ll dfs(int pos,int prelcm,int now,bool limit){
    if(pos==-1){
        if(now%prelcm==0)  return 1;
        return 0;
    }
    if(!limit&&dp[pos][now][index[prelcm]]!=-1)    return dp[pos][now][index[prelcm]];
    int up=limit?num[pos]:9;
    ll ret=0;
    for(int i=0;i<=up;i++){
        int next=(now*10+i)%MOD;
        int tlcm=prelcm;
        if(i)   tlcm=lcm(tlcm,i);
        ret+=dfs(pos-1,tlcm,next,limit&&i==up);
    }
    if(!limit)  dp[pos][now][index[prelcm]]=ret;
    return ret;
}
ll solve(ll x){
    if(x==0)    return 1;
    int ind=0;
    memset(num,0,sizeof(num));
    while(x){
        num[ind++]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(ind-1,1,0,true);
}
int main()
{
    init();
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    ll l,r;
    int t;
    scanf("%d",&t);

    while(t--){
        scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
        printf("%I64d
",solve(r)-solve(l-1));
    }
    return 0;
}