同余方程 学习笔记

裴蜀定理

上一篇提到过，(ax+by=c)有解，当且仅当(c=m*gcd(a,b)) (m为正整数)

所以当(gcd(a,b)=1)时，c可以取任意数

线性同余方程

推导

形如 (ax equiv c pmod b) 的东西叫线性同余方程 (Congruence Equation)

怎么解？

这不就相当于 ((ax-c)\%b==0)，即((ax-c))为(b)倍数吗！

设它为 (-y) 倍，这样不就有 ((ax-c)=-by)，就是 (ax+by=c) 了吗！（所以为什么要设为-y倍就是如此——让化简后式子精简）

然后这不就一个exgcd搞定了吗！做完了！Time: (O(logn))

例题

**同余方程，一句话题意：给 (a)、(b) 值，求 (a x equiv 1 pmod b) 合法的 (x)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a,b,xx,yy;

void exgcd(int p,int q,int &x,int &y){
	if(!q){x=1,y=0;return;}
	exgcd(q,p%q,x,y);
	int tmp=x;
	x=y,y=tmp-(p/q)*y;
}

int main(){
	cin>>a>>b;
	exgcd(a,b,xx,yy);
	while(xx<=0)xx+=b;
	cout<<xx%b;
}

---

中国剩余定理

给定(a_i,n_i)（所有n两两互质），求x的可行解。方程组如下：

(left{egin{array}{l} x equiv a_{1}left(mod n_{1} ight) \ x equiv a_{2}left(mod n_{2} ight) \ vdots \ x equiv a_{k}left(mod n_{k} ight) end{array} ight.)

怎么求呢？（下面两行是精简版，不理解可以直接跳至第三行）

一句话 (Large{x=sum_{i=1}^{k}a_i*frac {prod_{j=1}^n n_{_j}}{n_{_i}}*inv[\,frac {prod_{j=1}^n n_{_j}}{n_{_i}}\,]})（啊这）

其中(inv[x])如果它的分母是(n_i)则表示整个式子模(prod_{i=1}^kn_k)下的逆元

• 具体来说，首先计算 (n=prod_{i=1}^n n_i)。

  然后对于每个式子 (m_i=frac{n}{n_i})，并计算其在 模(n_i)意义 下的逆元 (m_i^{-1})。接下来计算(c_i=m_im_i^{-1}) （(c_i)不要取模）

  最后 (x=sum_{i=1}^{-1}a_ic_i(mod\,\,n))

Time: (O(k))，k是式子的数量

证明：不知道。