谱聚类原理总结

引入

　　聚类算法一般可以分为两类：

1. Compactness。代表的算法有  K-means，GMM 等。但这类算法只能处理凸集，为了处理非凸的样本集，必须引⼊核技巧。
2. Connectivity。这类以  spectral clustering  为代表。

　　举个例子，将下述数据采用聚类算法进行聚类，可以采用  GMM 或  K-Means  的方法：

　　　　

 　　然而对于下述数据却并不能使用上述两种算法：

　　　　　　

　　此时可以考虑采用谱聚类（spectral clustering）的方法。

　　谱聚类算法(Spectral Clustering) 

　　主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以用边连接起来。距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，通过对所有数据点组成的图进行切图，让切图后不同的子图间边权重和尽可能的低，而子图内的边权重和尽可能的高，从而达到聚类的目的。

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1 基础知识

1.1 无向带权图

　　对于一个图 $G$ ，一般用  $V$  代表点的集合 和用  $E$  来描述边的集合。则  $G(V,E)$ 。其中， $V=(v_1, v_2,...v_n)$  。对于  $V$  中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。定义权重  $w_{ij}$  为点  $v_i$  和点  $v_j$  之间的权重。对于无向图，有   $w_{ij} = w_{ji}$。

　　权重：对于有边相连的两个点  $v_i$  和  $v_j$，有  $w_{ij} > 0$ ，  对于没有边连接的两个点  $v_i$  和  $v_j$  ，$w_{ij} = 0$。

　　度：对于图中的任意一个点  $v_i$  ，它的度  $d_i$  定义为和它相连的所有边的权重之和，即 ：

　　　　$d_i = \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij}$

　　利用节点的权重值，可以得到图的邻接矩阵  $W$  ，是一个  $n \times n$  的矩阵，第  $i$  行的第  $j$  个值对应的权重为  $w_{ij}$。

　　除此之外，对于点集  $V$  的的一个子集  $A \subset V$  ，我们定义：

• • $|A|: = 子集A中点的个数$ 
  • $ vol(A): = \sum\limits_{i \in A}d_i$

　　利用每个节点的度，可以得到一个  $n \times n$  的度矩阵  $D$，它是一个对角矩阵，只有主对角线有值，对应第  $i$  行的第  $i个$  点的度数，定义如下：

　　　　$\mathbf{D} =\left( \begin{array}{ccc}d_1 & \ldots & \ldots \\ \ldots & d_2 & \ldots \\  \vdots & \vdots & \ddots \\  \ldots & \ldots & d_n \end{array} \right)$

1.2 相似矩阵

　　一般情况下，邻接矩阵  $W$，通常可以自己输入权重，但在谱聚类中，我们只有数据点的定义，并没有直接给出这个邻接矩阵，那么怎么得到这个邻接矩阵呢？

　　基本思想：距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高。一般来说，可以通过样本点距离度量的相似矩阵  $S$  来获得邻接矩阵  $W$。

　　构建邻接矩阵  $W$  的方法有三类：

1. 1. $\epsilon$ - 邻近法
   2. $K$ 邻近法
   3. 全连接法

1.2.1 $\epsilon$-邻近法

　　首先，设置一个距离阈值  $\epsilon$  ，然后用欧式距离  $s_{ij}$  度量任意两点  $x_i$  和  $x_j$  的距离。即相似矩阵的  $s_{ij} = ||x_i-x_j||_2^2$ ，然后根据  $s_{ij}$  和  $\epsilon$  的大小关系，来定义邻接矩阵  $W$  如下：

　　　　$w_{ij}=\begin{cases}0& {s_{ij} > \epsilon}\\\epsilon& {{s_{ij} \leq \epsilon}}\end{cases}$

　　从上式可见，两点间的权重要不是  $\epsilon$，要不就是  $0$。显然这很难精确区分每个点之间的距离大小。所以很少使用  $\epsilon$- 邻近法。

1.2.2 $K$  邻近法

　　基本思想：利用  KNN  算法遍历所有的样本点，取每个样本最近的  $k$  个点作为近邻，只有和样本距离最近的  $k$  个点之间的  $w_{ij} > 0$  。

　　但是这种方法会造成重构之后的邻接矩阵  $W$  非对称，且后面的算法需要对称邻接矩阵。为解决这种问题，一般采取下面两种方法之一：

　　Method1：第一种  $K$  邻近法是只要一个点在另一个点的  $K$ 近邻中，则保留  $s_{ij}$：

　　　　$w_{ij}=w_{ji}=\begin{cases}0& {x_i \notin KNN(x_j) \;and \;x_j \notin KNN(x_i)}\\exp(-\frac{||x_i-x_j||_2^2}{2\sigma^2})& {x_i \in KNN(x_j)\; or\; x_j \in KNN(x_i})\end{cases}$

　　Method2：第二种  $K$  邻近法是必须两个点互为  $K$  近邻中，才保留  $s_{ij}$

　　　　$w_{ij}=w_{ji}=\begin{cases}0& {x_i \notin KNN(x_j) \;or\;x_j \notin KNN(x_i)}\\exp(-\frac{||x_i-x_j||_2^2}{2\sigma^2})& {x_i \in KNN(x_j)\; and \; x_j \in KNN(x_i})\end{cases}$

1.2.3 全连接法

　　相比前两种方法，第三种方法所有的点之间的权重值都大于 $0$，因此称之为全连接法。

　　基本思想：选择不同的核函数来定义边权重，常用的有多项式核函数，高斯核函数和  Sigmoid  核函数。

　　最常用的是高斯核函数RBF，此时相似矩阵和邻接矩阵相同：

　　　　$w_{ij}=s_{ij}=exp(-\frac{||x_i-x_j||_2^2}{2\sigma^2})$

　　在实际的应用中，使用第三种全连接法来建立邻接矩阵是最普遍的，而在全连接法中使用高斯径向核  RBF  是最普遍的。

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2 拉普拉斯矩阵

　　拉普拉斯矩阵  $L= D-W$。$D$  即为度矩阵，它是一个对角矩阵。而  $W$  即为 邻接矩阵。（参考《图神经网络基础二：谱图理论》）

　　举例：

　　　　

　　普拉斯矩阵的性质如下：

　　1、拉普拉斯矩阵是 对称矩阵;

　　2、$L$  的行和为零 ；

　　3、$\mathbf{L} $  有一个特征值为零 ；

　　4、$\mathrm{L} $ 是半正定矩阵 ；

　　5、对于任意向量  $f$，有：

 　　　　$f^{T} L f=\frac{1}{2} \sum \limits _{i=1}^{N} \sum \limits _{j=1}^{N} w_{i j}\left(f_{i}-f_{j}\right)^{2}$

　　这一性质利用拉普拉斯矩阵的性质很容易可以得到：

 　　　　$\begin{array}{l}f^{T} L f&=f^{T} D f-f^{T} W f \\&=\sum \limits _{i=1}^{N} d_{i} f_{i}^{2}-\sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j=1}^{N} w_{i j} f_{i} f_{j} \\&=\frac{1}{2}\left(\sum\limits_{i=1}^{N} d_{i} f_{i}^{2}-2 \sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j=1}^{N} w_{i j} f_{i} f_{j}+\sum\limits_{j=1}^{N} d_{j} f_{j}^{2}\right) \\&=\frac{1}{2}\left(\sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j=1}^{N} w_{i j} f_{i}^{2}-2 \sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j=1}^{N} w_{i j} f_{i} f_{j}+\sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j=1}^{N} w_{i j} f_{j}^{2}\right) \\&=\frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{N} \sum\limits_{j=1}^{N} w_{i j}\left(f_{i}-f_{j}\right)^{2}\end{array}$

　　对于上面的性质5，如果 $f$ 为网络中信号的值的向量，那么   $f^{T} L f$   称为图信号的总变差 (Total Variation)，可以刻画图信号整体的平滑度 

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3 无向图切图　

　　对于无向图  $G$  的切图，目标是将图  $G(V,E)$  切成相互没有连接的  $k$  个子图，每个子图点集合为：$A_1,A_2,..A_k$，它们满足  $A_i \cap A_j = \emptyset$，且$A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k = V$。

　　对于任意两个子图点集合  $A, B \subset V$  ，$A \cap B = \emptyset$，我们定义  $A$  和  $B$  之间的切图权重为：

　　　　 $W(A, B) = \sum\limits_{i \in A, j \in B}w_{ij}$ 

　　那么对于  $k$  个子图点的集合：$A_1,A_2,..A_k$，定义切图cut为：

　　　　$cut(A_1,A_2,...A_k) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}W(A_i, \overline{A}_i )$

　　其中  $\overline{A}_i $  为  $A_i$  的补集，意为除  $A_i$  子集外其他  $V$  的子集的并集。

　　每个子图就相当于聚类的一个类，找到子图内点的权重之和最高，子图间的点的权重之和最低的切图就相当于找到了最佳的聚类。实现这一点的一个很自然的想法是最小化  $cut$  。然而这种方法存在问题，也就是最小化的  $cut$  对应的切图不一定就是符合要求的最优的切图，如下图：　　

　　　　

　　在上面的例子中，我们选择一个权重最小的边缘的点，比如  $C$  和  $H$  之间进行  $cut$，这样可以最小化  $cut(A_1,A_2,...A_k)$，但是却不是最优的切图，如何避免这种切图，并且找到类似图中  "Best Cut"  这样的最优切图呢？

　　接下介绍谱聚类使用的切图方法。

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4 谱聚类之切图聚类

　　为避免最小切图导致的切图效果不佳，需要对每个子图的规模做出限定，一般来说，有两种切图方式，

1. 第一种是  RatioCut 
2. 第二种是  Ncut

4.1 RatioCut 切图

　　RatioCut  切图为避免上述的最小切图，对每个切图，不光考虑最小化  $cut(A_1,A_2,...A_k)$  ，还考虑最大化每个子图点的个数，即：

　　　　 $RatioCut(A_1,A_2,...A_k) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{W(A_i, \overline{A}_i )}{|A_i|}$ 

　　为最小化这个  RatioCut  函数，引入指示向量  $h_j \in \{h_1, h_2,..h_k\}\; j =1,2,...k$，对于任意一个向量  $h_j$， 它是一个  $n$  维向量（$n$ 为样本数），定义  $h_{ij}$  为：

　　　　$h_{ij}=\begin{cases}0& { v_i \notin A_j}\\\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}& { v_i \in A_j}\end{cases}$

　　定义  $h_i^TLh_i$  为：

　　　　$ \begin{array}{l} h_i^TLh_i & = \frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}\sum\limits_{n=1}w_{mn}(h_{im}-h_{in})^2 \\& =\frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}(\frac{1}{\sqrt{|A_i|}} - 0)^2 + \sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}(0 - \frac{1}{\sqrt{|A_i|}} )^2\\& = \frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}\frac{1}{|A_i|} + \sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}\frac{1}{|A_i|}\\& = \frac{1}{2}(cut(A_i, \overline{A}_i) \frac{1}{|A_i|} + cut(\overline{A}_i, A_i) \frac{1}{|A_i|}) \\& = \frac{cut(A_i, \overline{A}_i)}{|A_i|} \end{array}$

　　可以看出，对于某一个子图  $i$，它的  RatioCut  对应于  $h_i^TLh_i$，那么  $k$个子图呢？对应的  RatioCut  函数表达式为：

　　　　$\begin{array}{l}RatioCut \left(A_{1}, A_{2}, \ldots A_{k}\right)&=\sum\limits _{i=1}^{k} h_{i}^{T} L h_{i}\\&=\sum\limits_{i=1}^{k}\left(H^{T} L H\right)_{i i}  \\&=\operatorname{tr}\left(H^{T} L H\right)\end{array}$

　　上式中  $\operatorname{tr}\left(H^{T} L H\right) $  为矩阵  $H^{T} L H$  的迹，  $H=\left(\begin{array}{llll}h_{1} & h_{2} & \cdots & h_{k}\end{array}\right) $ ，需要注意这里 的  $H$  满足  $H^{T} H=I $ ，并且  $H$  的元素只能取  $0$  或者  $\frac{1}{\left|A_{i}\right|} $ 。

　　所以我们需要优化以下目标函数：

　　　　$\begin{array}{c} \underset{H}{\operatorname{argmin}} \quad \operatorname{tr}\left(H^{T} L H\right) \\\text { s.t. } H^{T} H=I\end{array}$

　　注意到  $H$  矩阵里面的每一个指示向量都是  $n$  维的，向量中每个变量的取值为  $0$  或者  $\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}$  ，就有  $2^n$  种取值，有  $k$  个子图的话就有  $k$  个指示向量，共有  $k2^n$  种  $H$，因此找到满足上面优化目标的  $H$ 是一个  $NP$  难的问题。

　　观察到  $tr(H^TLH)$  中每一个优化子目标  $h_i^TLh_i$，其中  $h$  是单位正交基， $L$  为对称矩阵，此时  $h_i^TLh_i$  的最大值为  $L$  的最大特征值，最小值是  $L$  的最小特征值。类比于 PCA ，我们的目标是找到协方差矩阵（对应此处的拉普拉斯矩阵  $L$ ）的最大的特征值，而在我们的谱聚类中，我们的目标是找到目标的最小的特征值，得到对应的特征向量，此时对应二分切图效果最佳。也就是说，我们这里要用到维度规约的思想来近似去解决这个NP难的问题。

　　对于  $h_i^TLh_i$  ，我们的目标是找到最小的  $L$  的特征值，而对于  $tr(H^TLH) = \sum\limits_{i=1}^{k}h_i^TLh_i$，则我们的目标就是找到  $k$  个最小的特征值，一般来说，$k$  远远小于  $n$，也就是说，此时我们进行了维度规约，将维度从  $n$   降到了  $k$ ，从而近似可以解决这个NP难的问题。

　　通过找到  $L$  的最小的  $k$  个特征值，可以得到对应的  $k$  个特征向量，这  $k$  个特征向量组成一个  $nxk$  维度的矩阵，即为我们的  $H$。一般需要对  $H$  矩阵按行做标准化，即

　　　　$h_{ij}^{*}= \frac{h_{ij}}{(\sum\limits_{t=1}^kh_{it}^{2})^{1/2}}$

　　由于我们在使用维度规约的时候损失了少量信息，导致得到的优化后的指示向量  $h$  对应的  $H$  现在不能完全指示各样本的归属，因此一般在得到  $n\times k$  维度的矩阵  $H$  后还需要对每一行进行一次传统的聚类，比如使用  K-Means  聚类。

4.2 Ncut 切图

　　Ncut 切图和  RatioCut  切图很类似，但是把  Ratiocut  的分母  $|Ai|$  换成  $vol(A_i)$  。由于子图样本的个数多并不一定权重就大，我们切图时基于权重也更合我们的目标，因此一般来说  Ncut  切图优于  RatioCut 切图。 $NCut(A_1,A_2,...A_k) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{W(A_i, \overline{A}_i )}{vol(A_i)}$ 

　　对应的，Ncut 切图对指示向量  $h$  做了改进。注意到  RatioCut  切图的指示向量使用的是  $\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}$  标示样本归属，而  Ncut  切图使用了子图权重  $\frac{1}{\sqrt{vol(A_j)}}$  来标示指示向量  $h$，定义如下: 

　　　　$h_{ij}=\begin{cases}0& { v_i \notin A_j}\\\frac{1}{\sqrt{vol(A_j)}}& { v_i \in A_j}\end{cases}$

　　那么我们对于  $h_i^TLh_i$  有：

　　　　$ \begin{array}{l} h_i^TLh_i & = \frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}\sum\limits_{n=1}w_{mn}(h_{im}-h_{in})^2 \\& =\frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}(\frac{1}{\sqrt{vol(A_i)}} - 0)^2 + \sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}(0 - \frac{1}{\sqrt{vol(A_i)}} )^2\\& = \frac{1}{2}(\sum\limits_{m \in A_i, n \notin A_i}w_{mn}\frac{1}{vol(A_i)} + \sum\limits_{m \notin A_i, n \in A_i}w_{mn}\frac{1}{vol(A_i)}\\& = \frac{1}{2}(cut(A_i, \overline{A}_i) \frac{1}{vol(A_i)} + cut(\overline{A}_i, A_i) \frac{1}{vol(A_i)}) \\& = \frac{cut(A_i, \overline{A}_i)}{vol(A_i)} \end{array}$

　　推导方式和  RatioCut  完全一致。也就是说，我们的优化目标仍然是 

　　　　$\begin{array}{l}\operatorname{NCut}\left(A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k}\right)&=\sum\limits _{i=1}^{k} h_{i}^{T} L h_{i} \\&=\sum\limits_{i=1}^{k}\left(H^{T} L H\right)_{i i} \\&=\operatorname{tr}\left(H^{T} L H\right)\end{array}$ 

　　但是此时我们的  $H^TH \neq I$，而是  $H^TDH = I$。推导如下：

　　　　$\begin{array}{l}H^{T} D H&=\left(\begin{array}{c}h_{1}^{T} \\h_{2}^{T} \\\vdots \\h_{k}^{T}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}d_{1} & & & \\& d_{2} & & \\& & \ddots & \\& & & d_{N}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}h_{1} & h_{2} & \cdots & h_{k}\end{array}\right) \\&=\left(\begin{array}{cccc}h_{11} d_{1} & h_{12} d_{2} & \cdots & h_{1 N} d_{N} \\h_{21} d_{1} & h_{22} d_{2} & \cdots & h_{2 N} d_{N} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\h_{k 1} d_{1} & h_{k 2} d_{2} & \cdots & h_{k N} d_{N}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}h_{1} & h_{2} & \cdots & h_{k}\end{array}\right) \\&=\left(\begin{array}{ccccc}\sum\limits _{i=1}^{N} h_{1 i}^{2} d_{i} & \sum\limits_{i=1}^{N} h_{1 i} h_{2 i} d_{i} & \cdots & \sum\limits_{i=1}^{N} h_{1 i} h_{k i j} d_{i} \\\sum\limits_{i=1}^{N} h_{2 i} h_{1 i} d_{i} & \sum\limits_{i=1}^{N} h_{2 i}^{2} d_{i} & \cdots & \sum\limits_{i=1}^{N} h_{2 i} h_{k i} d_{i} \\\vdots & \vdots&\ddots & \vdots  \\\sum\limits_{i=1}^{N} h_{k i} h_{1 i} d_{i} & \sum\limits_{i=1}^{N}h_{k i} h_{2 i} d_{i} & \cdots & \sum\limits_{i=1}^{N} h_{k i}^{2} d_{i}\end{array}\right)\end{array}$

　　对于对角线元素

　　　　$ h_i^TDh_i = \sum\limits_{j=1}^{n}h_{ij}^2d_j =\frac{1}{vol(A_i)}\sum\limits_{j \in A_i}d_j= \frac{1}{vol(A_i)}vol(A_i) =1$ 

　　由于  $h_{m i}$  和 $h_{n i}$  不可能同时非零（$v_i \in V_m  \quad and \quad v_i \in V_n$ ），因此对于非对角线元素有: 

　　　　$\sum \limits _{i=1}^{N} h_{m i} h_{n i} d_{i}=\sum \limits _{i=1}^{N} 0 \cdot d_{i}=0$

　　此时我们的优化目标最终为：

　　　　$\begin {array} {c} \underset{H}{arg\;min} \; tr(H^TLH) \\s.t.\;H^TDH=I \end {array} $ 

　　此时我们的  $H$  中的指示向量  $h$  并不是标准正交基，所以在 RatioCut里面的降维思想不能直接用。怎么办呢？其实只需要将指示向量矩阵  $H$  做一个小小的转化即可。

　　我们令$H = D^{-1/2}F$, 则：

　　　　$H^TLH = F^TD^{-1/2}LD^{-1/2}F$　　

　　　　$H^TDH=F^TF = I$

　　此时优化目标为:

　　　　$\begin {array}{c}\underset{F}{\operatorname{arg\;\;min}}\;\; \operatorname{tr}\left(F^{T} D^{-1 / 2} L D^{-1 / 2} F\right) \\\text { s.t. } F^{T} F=I\end {array}$ 

　　可以发现这个式子和  RatioCut  基本一致，只是中间的  $L$  变成了  $D^{-1/2}LD^{-1/2}$。这样我们就可以继续按照RatioCut的思想，求出  $D^{-1/2}LD^{-1/2}$  的最小的前  $k$  个特征值，然后求出对应的特征向量，并标准化，得到最后的特征矩阵  $F$，最后对  $F$   进行一次传统的聚类（比如K-Means）即可。

　　一般来说， $D^{-1/2}LD^{-1/2}$  相当于对拉普拉斯矩阵  $L$  做了一次标准化，即

　　　　$\left(D^{-1 / 2} L D^{-1 / 2}\right)_{i j}=\frac{L_{i j}}{\sqrt{d_{i} * d_{j}}} $

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5 谱聚类算法流程

5.1  Ncut 谱聚类算法流程

　　下面 Ncut 谱聚类算法流程。

　　　　输入：样本集D=$(x_1,x_2,...,x_n)$，相似矩阵的生成方式, 降维后的维度$k_1$, 聚类方法，聚类后的维度$k_2$

　　　　输出： 簇划分$C(c_1,c_2,...c_{k_2})$.　

1. 1. 　　根据输入的相似矩阵的生成方式构建样本的相似矩阵  $S$ ；
   2. 　　根据相似矩阵  $S$  构建邻接矩阵  $W$，构建度矩阵  $D$；
   3. 　　计算出拉普拉斯矩阵  $L$；
   4. 　　构建标准化后的拉普拉斯矩阵$D^{-1/2}LD^{-1/2}$；
   5. 　　计算$D^{-1/2}LD^{-1/2}$最小的  $k_1$  个特征值所各自对应的特征向量  $f$；
   6. 　　将各自对应的特征向量$f$组成的矩阵按行标准化，最终组成  $n \times k_1$  维的特征矩阵  $F$；
   7. 　　对 $F$ 中的每一行作为一个$k_1$维的样本，共  $n$ 个样本，用输入的聚类方法进行聚类，聚类维数为$k_2$  ；
   8. 　　得到簇划分$C(c_1,c_2,...c_{k_2})$.　　　　　　　　　

5.2 谱聚类算法的优缺点

　　谱聚类算法的主要优点有：

1. 1. 谱聚类只需要数据之间的相似度矩阵，因此对于处理稀疏数据的聚类很有效。这点传统聚类算法比如K-Means很难做到
   2. 由于使用了降维，因此在处理高维数据聚类时的复杂度比传统聚类算法好。

　　谱聚类算法的主要缺点有：

1. 1. 如果最终聚类的维度非常高，则由于降维的幅度不够，谱聚类的运行速度和最后的聚类效果均不好。
   2. 聚类效果依赖于相似矩阵，不同的相似矩阵得到的最终聚类效果可能很不同。