如何通俗易懂地解释卷积？

　　卷积这个概念，很早以前就学过，但是一直没有搞懂。教科书上通常会给出定义，给出很多性质，也会用实例和图形进行解释，但究竟为什么要这么设计，这么计算，背后的意义是什么，往往语焉不详。一个公式倘若倘若给不出结合实际的直观的通俗的解释（也就是背后的“物理”意义），就觉得少了点什么，觉得不是真的懂了。

　　教科书上一般定义函数  $f, g$  的卷积  $f * g(n)$  如下:

　　连续形式:

　　$(f * g)(n)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(n-\tau) d \tau$

　　离散形式:

　　$(f * g)(n)=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty} f(\tau) g(n-\tau)$

　　这两个式子有一个共同的特征：

　　　　$n=\tau+(n-\tau)$

　　这个特征有什么意义？

　　我们令  $x=\tau, y=n-\tau $  ，那么  $x+y=n $  就是下面这些直线: 

　　　　

　　如果遍历这些直线，就好比，把毛巾沿着角卷起来：

　　　　

离散卷积的例子：丢骰子

　　我有两枚骰子，把这两枚骰子都抛出去，求两枚骰子点数加起来为 4 的概率是多少? 

　　这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于 4，这正是卷积的应用场景。

　　我们把骰子各个点数出现的概率表示出来:

　　　　

　　那么，两枚骰子点数加起来为4的情况有：

　　　　

 　　　　　

 　　　　

　　因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：

 　　　　$f(1) g(3)+f(2) g(2)+f(3) g(1)$

　　符合卷积的定义，把它写成标准的形式就是：

　　　　$(f * g)(4)=\sum \limits_{m=1}^{3} f(4-m) g(m)$

连续卷积的例子：做馒头

　　楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。

　　假设馒头的生产速度是  $f(t)$ ，那么一天后生产出来的馒头总量为:

　　　　$\int_{0}^{24} f(t) d t$

　　馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为 g(t) ，比如，10个漫头，24小时会腐败：

　　　　$10 * g(t)$

　　想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒 头，一天后会经历 23 小时的腐败。
　　如此，我们可以知道，一天后，馒头总共腐败了:

　　　　$\int_{0}^{24} f(t) g(24-t) d t$

　　这就是连续的卷积。