可逆矩阵
矩阵 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶矩阵 $B$，使得矩阵 $A、B$ 的乘积为单位阵，则称 $A$ 为可逆阵，$B$ 为 $A$ 的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。
定义
设 $P$ 是数域， $A in P^{n imes n}$ , 若存在 $B in P^{n imes n}$ , 使得 $A B=B A=E$, $E$ 为单位阵, 则称 $A$ 为可逆阵， $B$ 为 $A$ 的逆矩 阵, 记为 $B=A^{-1}$ 。若方阵 $A$ 的逆阵存在，则称 $A $ 为可逆矩阵或非奇异矩阵。
性质
- 若 $A$ 为可逆矩阵，则 $A$ 的逆矩阵是唯一的。
- 设 $ A 、 B$ 是数域 $ P$ 上的 $ n$ 阶矩阵， $ k in P_{circ} $
- 若 $ A$ 可逆，则 $ A^{-1}$ 和 $ A^{T}$ 也可逆，且 $ left(A^{-1} ight)^{-1}=A, quadleft(A^{T} ight)^{-1}=left(A^{-1} ight)^{T}$ ;
- 若 $ A$ 可逆，则 $ k A$ 可逆 $ Leftrightarrow k eq 0 $，且 $ (k A)^{-1}=frac{1}{k} A^{-1}$ ;
- $ A 、 B$ 均可逆 $ Leftrightarrow(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ 。
常用方法
(1) 判断或证明 $A$ 可逆的常用方法:
- 证明 $ |A| eq 0$ ;
- 找一个同阶矩阵 $ B$ ，验证 $ A B=B A=E$ ;
- 证明 $ A$ 的行向量 (或列向量) 线性无关。
(2) 求 $ A^{-1}$ 的方法:
- 公式法: $ A^{-1}=frac{1}{|A|} A^{*} $, 其中 $ A^{*} $ 为矩阵 $ A$ 的伴随矩阵。
- 初等变换法：对 $ (A quad E)$ 作初等变换，将 $ A$ 化为单位阵 $ E$ , 单位矩阵 $ E$ 就化为 $ A^{-1}$ 。