1. 什么是图
图论（graph theory） 是数学的一个分支，它以 图 为研究的对象。
图论本身是应用数学的一部分，历史上图论曾经被很多数学家各自独立建立过。关于图论的最早文字记载最早出现在欧拉 1736 年的论著中，也就是著名的柯尼斯堡（Konigsberg）问题（七桥问题）。
2. 图的定义
一个图G是一个二元组，即序偶<V,E>，或记作G=<V,E> ，其中V是有限非空集合，称为G的顶点集,V中的元素称为顶点或结点；E称为 G的边的集合，所有的边ei都属于E，都有v中的结点与之对应，称ei为 G的边。
3. 图的基本概念
l 无向图：每条边都是无向边的图。
l 有向图：每条边都是有向边的图。
l 混合图：在一个图中，有些边是有向边，另一些边是无向边，则该图为混合图。
l 有限图：一个图的点集和边集都是有穷集的图。
l 零图：边集为空集的图。
l 平凡图：仅有一个结点而没有边构成的图。
l 关联：若有ei=(u,v) 且ei属于E ，则称u是和v相关联的。
l 孤立点：无边关联的点。
l 自环：若一条边所关联的两个结点重合，则称此边为自环。
l 邻接：关联于同一条边的两个点 和 称为邻接的；关联于同一个点的两条边 和 是邻接的（或相邻的）。
l 路径:图G=(V，E)中，若存在顶点序列vi0, vi1, …, vin，使得(vi0, vi1)，( vi1, vi2)，…， (vin-1, vin)都在E 中(若是有向图，则使得<vi0, vi1>，< vi1, vi2>，…，<vin-1, vin>都在E中)，则称从顶点vi0到vin存在一条路径。
l 路径长度：路径上的边数。
l 简单路径：若路径上的顶点除vi0和vin可以相同外，其它顶点都不相同。
l 回路或环：起点和终点相同的简单路径。
l 根：有向图中，若存在一顶点v，从该顶点有路径可以 到图中其它所有顶点，则称此有向图为有根图，v 称为图的根。
l 完全图：若图中各个顶点都与除自身外的其他顶点有关系，这样的无向图称为完全图（如图 4a)）。同时，满足此条件的有向图则称为有向完全图（图 4b)）。
具有 n 个顶点的完全图，图中边的数量为 n(n-1)/2；而对于具有 n 个顶点的有向完全图，图中弧的数量为 n(n-1)。
l 稀疏图和稠密图：这两种图是相对存在的，即如果图中具有很少的边（或弧），此图就称为"稀疏图"；反之，则称此图为"稠密图"。
稀疏和稠密的判断条件是：e<nlogn，其中 e 表示图中边（或弧）的数量，n 表示图中顶点的数量。如果式子成立，则为稀疏图；反之为稠密图。
无向图
l 连通：无向图G=(V，E)中，若从vi到vj有一条路径 (从vj到vi也一定有一条路径)，则称vi和vj是连通。
l 连通图：若V(G)中任意两个不同的顶点vi和vj都是连通的(即有路径)，则称G为连通图。
连通图
l 连通分量：无向图G中的最大连通子图称为G的连通分量。
l 最大连通子图：任意增加结点或边以后得到的子图 均不连通。
有向图
l 强连通图：有向图G=(V，E)中，若V(G)中任意 两个不同的顶点vi和vj都存在从vi到vj以及从vj和vi 的路径，则称图G是强连通图。
强连通图
l 强连通分量：有向图的最大强连通子图称为图的强连通分量 强连通图只有一个强连通分量，就是其自身 非强连通的有向图有多个强连通分量
l 网络：若图的每条边都赋上一个权，则称为带权图 带权的连通图称为网络。
4.两个定理：
如图中，边数为6，度数之和(3+3+3+3)
l 推论：在任意图中，度数为奇数的点必然有偶数个。
l 推论：即所有点入度之和等于出度之和。
（这个比较好理解，就如同问世界上的上坡多还是下坡多一样，答案是一样多）
由上面的概念可知，树或者是森林，就是一种特殊的图。
5.图的存储：
邻接矩阵表示法
邻接表表示法
邻接多重表表示法
图的十字链表等
邻接矩阵表示法
邻接矩阵是表示顶点间相邻关系的矩阵 设G=(V，E)为具有n个顶点的图，其邻接矩阵为 具有以下性质的n阶方阵
邻接矩阵的英文名是 adjacency matrix。它的形式是 bool adj[n][n]，这里面n是节点个数，adj[i][j]表示i和j之间是否有边。
如果边有权值，也可以直接用 int adj[n][n] ，直接把边权存进去。
它的优点是可以在O(1)时间内得到一条边是否存在，缺点是需要占用O(n^2)的空间。对于一个稀疏的图（边相对于点数的平方比较少）来说，用邻接矩阵来存储的话，成本偏高。
其代码可以表示为（假设各边长度均为1）：
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=105;
int adj[maxn][maxn]={0}; //定义邻接矩阵
int x,y; //输入两条边
int n,m; //供输入n对边 ,m个顶点 (x,y <= m)
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>x>>y;
adj[x-1][y-1]=1;
adj[y-1][x-1]=1;
}
for(int i=0;i<m;i++){
for(int j=0;j<m;j++){
cout<<adj[i][j]<<' ';
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
如果G是带权的图，wij是边(vi,vj)或< vi,vj>的权， 则其邻接矩阵定义为∶
