4的幂

4的幂

给定一个整数 (32 位有符号整数)，请编写一个函数来判断它是否是 4 的幂次方。

示例 1:

输入: 16
输出:yes
示例 2:

输入: 5
输出: no

进阶：
你能不使用循环或者递归来完成本题吗？

分析：

　　联想到如何确定一个数是否是2的幂，这里有一个可行的方法：假设这个数为x 则只要判断    x > 0 and x & (x - 1) == 0。

方法一：采用循环的方法：

void check(int n){
    if (n==1)
       cout<<"no"<<endl;
    
    while(n%4==0){
        n/=4;
    }
    if (n==1){
        cout<<"yes"<<endl;
    }else
    {
        cout<<"no"<<endl;
    }
}

 

方法二：暴力破解+预计算

　　我们知道输入的整数是 32 位整数，所以x<=2³¹ -1 ，最大4的幂次为log₄(2³¹ -1)=15,一共有16种可能，我们只需要计算这16个特殊值，即可以判断这个数是否是4的幂。

void checkstore(long long x){
    long long arr[17];
    arr[0]=1;
    for (int  i =1; i <=16; i++)
    {
        arr[i]=arr[i-1]*4;
        if (x==arr[i])
        {
           cout<<"yes"<<endl;
           return;
        }
    }
    cout<<"no"<<endl;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(1)。
• 空间复杂度：O(1)。

方法三：数学运算

       如果这个数x是4的幂，则x = 4^a  ,  a = log₄x ，则a = 1/2 log₂x, a 为整数，故log₂x必须为偶数。只需要判断log₂x是否为偶数，就可以判断这个数是否是4的幂。

void check2(long long x){
    double result = log2(x);

    if (result-int(result)==0)//判断这个数是否为整数
    {
        if (int(result)%2==0)
        {
          cout<<"yes"<<endl;
          return;
        }
    }
    cout<<"no"<<endl;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(1)。
• 空间复杂度：O(1)。

方法四：位操作

 算法：

　　我们首先检查 num 是否为 2 的幂：x > 0 and x & (x - 1) == 0。

　　对于一个整数而言，如果这个数是 4 的幂次方，那它必定也是 2 的幂次方。

　　我们先将 2 的幂次方列出来找一下其中哪些数是 4 的幂次方。

　　十进制 二进制
　　2 10
　　4 100 （1 在第 3 位）
　　8 1000
　　16 10000（1 在第 5 位）
　　32 100000
　　64 1000000（1 在第 7 位）
　　128 10000000
　　256 100000000（1 在第 9 位）
　　512 1000000000
　　1024 10000000000（1 在第 11 位）
　　找一下规律： 4 的幂次方的数的二进制表示 1 的位置都是在奇数位。

　　将这个数与特殊的数做位运算。

　　这个特殊的数有如下特点：

　　足够大，但不能超过 32 位，即最大为 1111111111111111111111111111111（ 31 个 1）

　　它的二进制表示中奇数位为 1 ，偶数位为 0

　　符合这两个条件的二进制数是：

　　1010101010101010101010101010101
　　如果用一个 4 的幂次方数和它做与运算，得到的还是 4 的幂次方数。

　　将这个二进制数转换成 16 进制表示：0x55555555 。

 

oid check3(int num){
    if (num <= 0)
            cout<<"no";
        //先判断是否是 2 的幂
        if ((num & num - 1) != 0)
            cout<<"no";
        //如果与运算之后是本身则是 4 的幂
        if ((num & 0x55555555) == num)
            cout<<"yes";
        cout<<"no";
}