NOI2007 货币兑换

【问题描述】

  小 Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和B纪念券（以下简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的 帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第K天中A券 和B券的价值分别为AK和BK（元/单位金券）。
为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法。
比例交易法分为两个方面：
a)卖出金券：顾客提供一个[0，100]内的实数OP作为卖出比例，其意义为：将OP%的A券和OP%的B券以当时的价值兑换为人民币；
b)买入金券：顾客支付IP元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为IP的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第K天恰好为RateK；
例如，假定接下来3天内的Ak、Bk、RateK的变化分别为：

时间	Ak	Bk	Ratek
第一天	1	1	1
第二天	1	2	2
第三天	2	2	3

假定在第一天时，用户手中有100元人民币但是没有任何金券。
用户可以执行以下的操作：

时间	用户操作	人民币(元)	A券的数量	B券的数量
开户	无	100	0	0
第一天	买入100元	0	50	50
第二天	卖出50%	75	25	25
第二天	买入60元	15	55	40
第三天	卖出100%	205	0	0

注意到，同一天内可以进行多次操作。
小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能够获得多少元钱。

【输入格式】

第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、BK、RateK，意义如题目中所述。

【输出格式】

只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

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正解=动归+平衡树

考虑简单Dp

　 　状态：设f[i]为第i天能赚的最多钱为多少

　　 方程：f[i]=max(f[i-1],na*A+nb*B)(j< i)

　　　　(na,nb为第j天能换到的A劵数量和B劵数量)

考虑优化：

　　设 na 为 x，nb 为 y

　　则sum=x*A+y*B 既 y = -A/B*x+sum/B

　　由于A，B为定值

　　　sum的Max以 -A/B 为斜率的过点(x,y)的截距的Max*B

　　显然可能得到Max解截距的点必然是个上凸壳

　　　　建立以x为关键字的平衡树维护值（其实很简(dan)单(teng)）

      由于在树上的点映射的截距具有单调性，

　　找最大值是便可通过平衡树的前驱后继判断Max在左子树或右子树；

代码如下：

　　

#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<iostream>
#include<queue>
#define INF 99999999
#define LL long long
#define Cint(o) const int o=0
#define Cdou(o) const double o=0
#define Min(num1,num2) if(num1>num2) num1=num2
#define Max(num1,num2) if(num1<num2) num1=num2
struct Tree{
    int l,r,f;
    double x,y;
    Tree(Cint(a1),Cint(a2),Cint(a3),Cdou(a4),Cdou(a5)):
        l(a1),r(a2),f(a3),x(a4),y(a5){}
}a[100010];
int Root,Total,n;
const long double O=1e-8;
void cal(double sum,double A,double B,double K,double &na,double &nb){
    nb=sum/(A*K+B);
    na=nb*K;
}
void rig(int now){
    int f=a[now].f;
    a[now].f=a[f].f;
    if(a[a[f].f].l==f) a[a[f].f].l=now;
    if(a[a[f].f].r==f) a[a[f].f].r=now;
    a[f].f=now;
    a[f].l=a[now].r;
    a[a[now].r].f=f;
    a[now].r=f;
}
    
void lef(int now){
    int f=a[now].f;
    a[now].f=a[f].f;
    if(a[a[f].f].l==f) a[a[f].f].l=now;
    if(a[a[f].f].r==f) a[a[f].f].r=now;
    a[f].f=now;
    a[f].r=a[now].l;
    a[a[now].l].f=f;
    a[now].l=f;
}
double cross(Tree A,Tree B,Tree C){
    return (B.x-A.x)*(C.y-A.y)-(C.x-A.x)*(B.y-A.y);
            // x1 *y2-x2*y1
}    
void splay(int now,int F=0){
    while(a[now].f!=F){
        int f=a[now].f,ff=a[f].f;
        if(ff==F)
            if(a[f].l==now) rig(now);
            else lef(now);
        else
            if(a[ff].l==f)
                if(a[f].l==now) rig(f),rig(now);
                else lef(now),rig(now);
            else
                if(a[f].l==now) rig(now),lef(now);
                else lef(f),lef(now);
    }
    if(!F) Root=now;
}

void creat(){
    Total=2;
    Root=1;
    a[1].r=2;
    a[2].f=1;
    a[1].x=-INF;
    a[2].x=INF;
}
int prev(int now){
    splay(now);
    now=a[now].l;
    while(a[now].r) now=a[now].r;
    return now;
}
int succ(int now){
    splay(now);
    now=a[now].r;
    while(a[now].l) now=a[now].l;
    return now;
}
void del(int start,int now,int end){
    splay(start);
    splay(end,start);
    a[a[Root].r].l=0;
    //printf("Delte(%d)",now);
}
void maintain(int now){
    int p=prev(now),s=succ(now);
    if(p!=1&&s!=2)
        if(cross(a[p],a[s],a[now])<O){
            del(p,now,s);
            return ;
        }
    while(1){
        if(p==1) break;
        int pp=prev(p);
        if(pp!=1&&cross(a[pp],a[now],a[p])<O)
            del(pp,p,now),
            p=pp;
        else 
            break;
    }
    while(1){
        if(s==2) break;
        int ss=succ(s);
        if(ss!=2&&cross(a[now],a[ss],a[s])<O)
            del(now,s,ss),
            s=ss;
        else 
            break;
    }
}
void insert(double x,double y){
    for(int now=Root;;){
        if(a[now].x-x<O&&x-a[now].x<O){
            Max(a[now].y,y);
            maintain(now);
            return ;
        }
        if(a[now].x-x>O)
            if(a[now].l)
                now=a[now].l;
            else {
                a[now].l=++Total;
                a[Total].f=now;
                a[Total].x=x;
                a[Total].y=y;
                maintain(Total);
                return ;
            }
        else 
            if(a[now].r)
                now=a[now].r;
            else{
                a[now].r=++Total;
                a[Total].f=now;
                a[Total].x=x;
                a[Total].y=y;
                maintain(Total);
                return ;    
                
            }    
    }
}
double fo(Tree now,double K){
    return now.y-now.x*K;
}
int pre(int now){
    //splay(now);
    now=a[now].l;
    while(a[now].r) now=a[now].r;
    return now;
}

int suc(int now){
//    splay(now);
    now=a[now].r;
    while(a[now].l) now=a[now].l;
    return now;
}
double slove(double K){
    for(int now=Root;;){
        if(now==1){
            now=suc(now);
            continue ;
        }
        if(now==2){
            now=pre(now);
            continue ;
        }
        
        if(a[now].l){
            int k=pre(now);
            if(k!=1&&fo(a[now],K)<fo(a[k],K)+O){
                now=a[now].l;
                continue ;
            }
        } 
        if(a[now].r){
            int k=suc(now);
            if(k!=2&&fo(a[now],K)<fo(a[k],K)+O){
                now=a[now].r;
                continue ;
            }
        }
        return fo(a[now],K);
        
    }
} 
int main(){
    double A,B,K,na,nb,s;
    scanf("%d%lf",&n,&s);
    scanf("%lf%lf%lf",&A,&B,&K);
    creat();
    cal(s,A,B,K,na,nb);
    insert(na,nb);
    for(int i=1;i<n;i++){
        scanf("%lf%lf%lf",&A,&B,&K);
        double temp=slove(-A/B)*B;
        Max(s,temp);
        cal(s,A,B,K,na,nb);
        insert(na,nb);
    }
    printf("%.3lf",s);
}