数论—模运算的逆元

目录

有关模运算

定义

运算规则

逆元

定义

使用方法

求逆元的方法

枚举法

拓展欧几里得(Extend - Eculid)

费马小定理(Fermat's little theorem)

注意

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有关模运算

• 在信息学竞赛中，当答案过于庞大的时候，我们经常会使用到模运算(Modulo Operation)来缩小答案的范围，以便输出计算得出的答案。

• 定义

给定一个正整数 p，任意一个整数 n，那么一定存在等式：

n = k * p + r；

其中k、r 是整数，且0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。

对于正整数 p 和正整数 a、b，定义如下运算：

• 取模运算 ： a % p (或 a mod p)，表示 a 除以 p 的余数。
• 模 p 加法：(a + b) % p，其结果是 a + b 算术和除以 p 的余数。
• 模 p 减法：(a - b) % p，其结果是 a - b 算术差除以 p 的余数。
• 模 p 乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b 算数积除以 p 的余数。
• 同余式：正整数 a、b 对 p 取模，他们的余数相同，记做 a ≡ b (mod p)。

说明：

n % p 得到结果的正负由被除数 n 决定，与 p 无关。

例如：7 % 4 = 3, -7 % 4 = -3, -7 % -4 = -3.

• 运算规则

  • 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法除外。其规则如下：
    • (a + b) % p = (a % p + b % p) % p
    • (a - b) % p = (a % p - b % p) % p
    • (a * b) % p = (a % p * b % p) % p
    • a ^ b % p = ((a % p) ^ b) % p
    • 结合律
      • ((a + b) % p + c) = (a + (b + c) % p) % p
      • ((a * b) % p * c) = (a * (b * c) % p) % p
    • 交换律
      • (a + b) % p = (b + a) % p
      • (a * b) % p = (b * a) % p
    • 分配律
      • (a + b) % p = (a % p + b % p) % p
      • ((a + b) % p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p
  • 重要定理
    • 若 a ≡ b (mod p)，则对于任意的 c，都有(a + c) ≡ (b + c) (mod p)
    • 若 a ≡ b (mod p)，则对于任意的 c，都有(a * c) ≡ (b * c) (mod p)
    • 若 a ≡ b (mod p)，c ≡ d (mod p)，则
      • (a + c) ≡ (b + d) (mod p)
      • (a - c) ≡ (b - d) (mod p)
      • (a * c) ≡ (b * d) (mod p)
      • (a / c) ≡ (b / d) (mod p)

逆元

前文已经说过，模运算的除法运算规则与普通四则运算不同，那么当(a / b)的中间运算结果过大怎么办？

使用逆元可以很好地解决这个问题。

定义

逆元是指在数学领域群G中任意一个元 a，都在G中有唯一的逆元a'，具有性质 a · a' = a' · a = e ( · 为该群中定义的运算)。其中，e为该群的单位元。

逆元其实是加法中的相反数以及乘法中的倒数的拓展思想。

在模运算中，单位元便是1。

a mod p的逆元便是可以使 a * a' mod p = 1 的最小a'。

使用方法

因为 b' 为 b 的逆元，b * b' mod p = 1；

所以 (a / b) mod p = (a * b') mod p ，但要求a | b；

这样我们便可以应用 (a * b) % p = (a % p * b % p) % p 这一条性质缩小中间运算结果了。

求逆元的方法

1. 枚举法；
2. 利用拓展欧几里得算法求解同余方程；
3. 费马小定理。

枚举法

枚举1到p - 1的整数bi，若b * bi % p = 1，则bi即为b mod p的乘法逆元。

为什么只枚举到p - 1呢？

1. 如果枚举到 p，那么显然 b * p % p = 0;；

2. 如果枚举到 p + k ( 0 < k < p)，那么有 b * (p + k) % p = b * p % p + b * k % p = b * k % p，这样就返回了枚举1到p - 1的情况；

3. 如果枚举到 p + k ( k > p)，同第二种情况。

拓展欧几里得(Extend - Eculid)

求最小整数x、y，使 x * a + y * b = gcd(a , b)；

类似这样的问题便可以使用拓展欧几里得来求解。

由欧几里得定理可知gcd(a , b) = gcd(b , a % b) (假设 a > b)，

所以有x' * b + y' * (a % b) = gcd(a , b)，假设已经求得 x' 和 y'，那么有 ：

∵ x' * b + y' * ( a % b) = gcd(a , b) and a % b = a - [a / b] * b

∴ x' * b + y' * ( a - [a / b] * b) = gcd(a , b)

∴ y' * a + (x' - y' * [a / b]) * b = gcd(a , b)

如此这个问题便可以递归的求解了。

（显然如果b = 0的话，那么x = 1，y = 0）

那么求解 b' 使得 b * b‘ mod p = 1 这个问题便可以转化为：

求最小整数 b'、k，使得 b' * b + k * p = 1；

代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
void ext_gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y) {
    if(b == 0) {
	d = a; x = 1; y = 0;
	return;
    }
    ext_gcd(b,a % b,d,y,x);
    y -= a / b * x;
    return;
}
int main() {
    int x,y,d;
    int a,b; 
    while(1) {
	cin >> a >> b;
	ext_gcd(a,b,d,x,y);
	if(d != 1) cout << "There is no ans for this input." << endl;
	else cout << "The ans for this input : " << (x + b) % b << endl;
    }
    return 0;
} 

费马小定理(Fermat's little theorem)

假如 p 是质数，那么 a ^ (p-1) ≡ 1 (mod p) 。

推论： b ^ (p - 2) % p 即为 b mod p 的乘法逆元。

注意

需要b、p互质才可以使用逆元法，如果b、p不互质的话只能用(a / b) % p = (a % (b * p)) / b 来尝试解决问题了。

但是在信息竞赛中一般给出的模数均为质数，例如10 ^ 9 + 7 。