2.4 浮点数

2.4 浮点数

2.4.1 二进制小数

类似形如(b_mb_{m-1}cdots{}b_1b_0.b_{-1}b_{-2}cdots{}b_{-n-1}b_{-n})的表示法，其中(b_i)的取值范围为0或1，该表示法所表示的数定义如下：

[egin{equation} b=sum_{i=-n}^{m}2^{i} imes b_{i} end{equation} ]

符号(“.”)为二进制小数点，点左边的位的权是2的正幂，点右边的位的权是2的负幂。

2.4.2 IEEE浮点数表示

IEEE浮点数标准用(V=(-1)^s imes M imes 2^E)的形式来表示一个数：

• 符号：s决定这个数是负数（s=1）还是正数（s=0），对于数值0的符号位解释作为特殊情况处理。

• 尾数：M是一个二进制小数，它的范围是(1 hicksim 2-varepsilon)（规格化的），(0 hicksim 1-varepsilon)（非规格化的）。

• 阶码：E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的(E)次幂（可能为负）。

• 阶码字段：exp；小数字段：frac。

• 根据阶码字段exp的值，被编码的值可以分为四种不同的情况：

  • 规格化的：exp不全为0同时也不全为1；
  • 非规格化的：exp全为0；
  • 无穷大：exp全为1，且frac全为0；
  • NaN：exp全为1，frac不全为0；

情况1：规格化的浮点数计算方法

阶码字段exp：

[E=e-Bias,quad e是无符号数，其位表示为e_{k-1}cdots e_2e_1 \ Bias=2^{k-1}-1 ]

注意此时e不能全为0也不能全为1，对于单精度E的取值范围为：(-126 hicksim +127)，而双精度是(-1022 hicksim +1023)。

小数字段frac:

[M=1+f \ f=0.f_{n-1}cdots f_2f_1 \ 可以看出二进制小数点在frac字段最高有效位左边 ]

情况2：非规格化的浮点数计算方法

阶码字段exp：

[E=1-Bias ]

小数字段frac：

[M=f=0.f_{n-1}cdots f_2f_1 ]

情况3：特殊值

当阶码exp全为1，小数域全为0时，若(s=0)时是(+infty)，若(s=1)时是(-infty)。

当阶码exp全为1，小数域不全为0时，结果值为(NaN)，即“Not a Number”。

2.4.3 数字示例

浮点数能够使用整数排序函数来排序，将浮点数位模式解释为无符号数时，大小顺序不变。

2.4.4 舍入

由于浮点运算只能近似地表示实数运算，所以在很多情况下需要进行舍入

• 向偶数舍入：也称为最接近值舍入，eg: 1.4舍入为1，1.6舍入为2，1.5舍入为2。
• 向0舍入
• 向下舍入
• 向上舍入

2.4.5 浮点运算

把浮点值(x)和(y)看成实数，而某个运算(igodot)定义在实数上，则浮点运算为：

[Round(xodot y) ]

这是对实际运算的精确结果进行舍入后的结果

浮点加法

• 将(x+^{f}y)定义为(Round(x+y))，对于所有x和y的值，加法运算是可交换的，但不可结合。
• 浮点加法满足单调属性：若(ageq b)，对于任何(x)，都有(x + a geq x + b)，无符号加法或补码加法不具有这个属性。

浮点乘法

• (x*^fy)定义为(Round(x imes y))，可交换不可结合，不可分配。
• 满足单调性