二项式反演与错排问题
常见简单组合恒等式：
-
(C_n^m=C_n^{n-m})
-
(C_n^m=C_n^{m-1}+C_{n-1}^{m-1})
-
(sum_{i=0}^{n}C_n^i=2^i)
-
(sum_{i=0}^{n}(-1)^i*C_n^i=[n=0])
3.4.证明：由二项式定理易证。
令(x=1,y=1)，可得3式
令(x=1,y=-1)， 可得4式
二项式反演：
假设存在两个函数f，g。满足：
[f_n=sum_{i=0}^{n}C_n^i*g_i
]
那么考虑如何反求得(g_n)关于(f_n)的等式。
[g_n=sum_{i=0}^{n}[n-i=0]*C_n^i*g_i\
g_n=sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j*C_{n-i}^j*C_n^i*g_i\
g_n=sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{n-i}(-1)^j*C_{n}^j*C_{n-j}^i*g_i\
g_n=sum_{j=0}^{n}(-1)^j*C_n^jsum_{i=0}^{n-j}C_{n-j}^i*g_i\
g_n=sum_{i=0}^{n}(-1)^i*C_n^i*f_{n-i}=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*C_n^i*f_{i}
]
所以得到二项式反演的结论：
[f_n=sum_{i=0}^{n}C_n^i*g_i\
g_n=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*C_n^i*f_{i}\
]
形式上真的很优美！
下面就用二项式反演来解决一个经典的问题！
错排问题
问题描述：
有(n)个人编号为(1, ..., n)，问这(n)个人站成一排全都站错位置的方案数。
上述站错的定义是：第(i)个人没有站在位置(i)上。
方法1： 递推
设(f_n)表示答案，假设现在考虑到了前(i)个人的方案，即(f_i)。
考虑第(i)个人站位情况：
显然第(i)个人的不能站在位置(i)，假设他站到了位置(k)，显然(kin[1,i-1])，那么继续考虑(k)的站位。
①、(k)站到了位置i，那么剩下的(i-2)个人仍然构成一个原问题，方案数为(f_{i-2})。
②、(k)没站到位置i，也即(k)不能站在位置(i)，那么剩下的(i-1)个人仍然构成一个原问题，方案数为(f_i-1)。
所以可以得到(f)的递推关系：
[f_1=0 , f_2=1\f_i=(i-1)*(f_{i-1}+f_{i-2}) i≥3
]
方法2：二项式反演
设(f_n)表示(n)个人随便站位的方案数，(g_n)表示(n)个人的都站错的方案数。
容易得到：
[f_n=n!\
f_n=sum_{i=0}^nC_n^i*g_i
]
直接二项式反演可以得到：
[g_n=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}*C_n^i*f_{i}\
]
同样可以直接线性的递推出答案。