• HDU dice DP求期望+推公式


    题意:
    一个m边形的骰子,求连续投出n个相同的面,和m个两两不同的面的期望次数。
    solution:
    (f_i)表示已经连续投出i个相同的面,到连续投出n个还需要的期望次数.

    (g_i)类似的表示第二种问题的期望次数。

    对于(f_i) ,有两种情况:

    ① 投出了和前i个相同的面,转移到了(f_{i+1}) ,那么(f_i+=(f_{i+1}+1)*frac{1}{m})

    ② 投出了一个不同的面,转移到了(f_1),那么(f_i+=(f_1+1)*frac{m-1}{m})

    综上,(f_i=(f_{i+1}+1)*frac{1}{m}+(f_1+1)*frac{m-1}{m}=f_{i+1}*frac{1}{m}+f_1*frac{m-1}{m}+1)

    继续整理得到:(m*f_i=m+(m-1)*f_1+f_{i+1})

    同理的话有:(m*f_{i+1}=m+(m-1)*f_1+f_{i+2})

    两式相减得到:(m*(f_{i+1}-f_i)=f_{i+2}-f_{i+1})

    可以发现,这成一个等比数列:

    [f_0-f_1=1\ f_1-f_2=m\ …\ f_{n-1}-f_n=m^{n-1} ]

    运用等比数列求和公式可得:(ans=frac{m*(1-m^{n-1})}{1-m}+1)

    对于(g_i)

    ① 投出了和前i个都不同的面,转移到了(g_{i+1}) ,那么(g_i+=(g_{i+1}+1)*frac{m-i}{m})

    ② 投出了以前出现过的面,那么可能转移到了(g_1,g_2,…g_i),那么(g_i+=sum_{1≤j≤i}{(g_j+1)*frac{1}{m}})

    综上,(g_i=(g_{i+1}+1)*frac{m-i}{m}+sum_{1≤j≤i}{(g_j+1)*frac{1}{m}}=g_{i+1}*frac{m-i}{m}+frac{1}{m}*sum_{1≤j≤i}{g_j}+1)

    同上面(f_i)类似的处理之后,可以同样的得到(g_i-g_{i+1}=frac{m}{m-i}*(g_{i+1}-g_{i+2})),直接递推一下即可。

    code:

    #include<cmath>
    #include<string>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #define RG register
    #define IL inline
    #define LL long long
    #define DB double
    using namespace std;
    
    const int N=1e6+1;
    
    int n,m;
    DB ans,s[N];
    
    IL int qpow(int x,int p) {
    	RG int ans=1;
    	for(;p;p>>=1,x*=x)
    		if(p&1) ans*=x;
    	return ans;
    }
    
    int main()
    {
       	RG int i,T,typ;
    	while(scanf("%d",&T)!=EOF) {
    		while(T--) {
    			scanf("%d%d%d",&typ,&n,&m);
    			if(typ==0) printf("%.9lf
    ",(DB)n*(1-qpow(n,m-1))/(1-n)+1);
    			else {
    				ans=0,s[0]=1;
    				for(i=1;i<m;++i) s[i]=s[i-1]*n/(n-i);
    				for(i=0;i<m;++i) ans+=s[i];
    				printf("%.9lf
    ",ans);
    			}
    		}
    	}
    	return 0;
    }
    
    
    
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