• (DP+二分查找) leetcode 300. Longest Increasing Subsequence, 673. Number of Longest Increasing Subsequence


     

    动态规划解法:O(n^2)

    class Solution {
    public:
        int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
            if(nums.empty())
                return 0;
            int n = nums.size();
            int f[n], res = 0;
            
            for(int j=0; j<n; j++){
                // case 1
                f[j] = 1;
                
                //case 2
                for(int i=0; i<j; i++){
                    if(nums[i]<nums[j] && f[i]+1 > f[j])
                        f[j] = f[i] + 1;
                    
                }
                res = max(res, f[j]);
            }
            
            return res;
        }
    };

    二分查找优化:时间复杂度:O(nlogn)

    b[j]  : stores length is j (f value is j), smallest ending value.

    O(n^2) 的写法是用动态规划,f[i]里存储数组索引为i时的最长上升子序列的长度。而在用二分查找时,设置b[k]来存储当f[i]的值是j时(即最长上升子序列的长度为j时),这个序列的最后一个值(最小的)。遍历n次,每次都二分查找到b[k]里最大那个小于nums[i]的数字, 然后将b[j+1] 替换为 nums[i].

    class Solution {
    public:
        int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
            int n = nums.size();
            if(n==0)
                return 0;
            
            int b[n+1];   //b[i]: when f value is i, smallest nums value(ending value)
            
            int top=0;    //top一定要初始化 否则会指针溢出
            b[0] = INT_MIN;
            
            //O(n)
            for(int i=0; i<n; i++){
                // b[0]...b[top] find the last value b[j] which is smaller than nums[i]
                int start = 0, stop = top;
                int mid, j;
                //O(logn)
                while(start<= stop){
                    mid = (start + stop)/2;
                    if(b[mid]<nums[i]){
                        j = mid;  //找到一个 先存下来
                        start = mid+1;    //然后在后面找,因为要找最后一个比nums[i]小的
                    }
                    else
                        stop = mid-1;
                }
                b[j+1] = nums[i];   //f[i] = j+1
                if(j+1 > top)
                    top = j+1;   //更新top
            }
            //b[0]...b[top]
            //b[top] stores the smallest ending value for an increasing sequence with length top
            return top;   //top的长度就是f[i]的值,即LIS
        }
    };

    这道题的贪心+二分法的时间复杂度是O(nlogn), 几个月后又重做了一遍题目,发现自己之前写的题解一点也不通俗易懂== 反正我是没读懂。。。

    推荐一个写的很好的题解:https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/solution/dong-tai-gui-hua-er-fen-cha-zhao-tan-xin-suan-fa-p/

    总结来说:维护一个递增的数组tail[i],表示长度为i+1的子序列的最小末尾元素为tail[i],最后返回这个数组的长度即end+1就是答案。

    遍历nums,若tail[end] < nums[i] 则直接插入到tail的末尾;否则,每次在tail中找到第一个大于等于nums[i]的元素,用nums[i]替换。

    class Solution {
    public:
        int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
            //二分搜索:tail[i]:存储长度为i+1的子序列的最小末尾元素
            int n = nums.size();
            if(n<2) return n;
            vector<int> tail;
            tail.push_back(nums[0]);
            int end = 0;   //tail最末的索引
    
            for(int i=1; i<n; i++){
                if(nums[i] > tail[end]){
                    tail.push_back(nums[i]);
                    end++;
                }
                else{
                    // nums[i] < tail[end]
                    // 二分法在tail里找到第一个大于nums[i]的元素,用nums[i]替换
                    int left = 0, right = end;
                    while(left + 1 < right){
                        int mid = (left + right)>>1;
                        if(tail[mid]<=nums[i]){
                            left = mid;
                        }
                        else
                            right = mid;
                    }
                    if(tail[left] >= nums[i]) tail[left] = nums[i];
                    else tail[right] = nums[i];
                }
    
                //cout<<end+1<<endl;
               // for(auto c : tail) cout<<"tail"<<" "<<c<<endl;
            }
            
            return end+1;
        }
    };

    延续上题动态规划的思想,并设置一个数组t[i]来记录 数组中索引为i时最长上升子序列f[i]对应出现的个数。

    注意一下特殊情况[2,2,2,2,2] 时输出为5不是1。[1,2,6,5,4]时输出为3。

    class Solution {
    public:
        int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
            int n = nums.size();
            if(n==0)
                return 0;
            int f[n];
            int t[n];   //记录长度为f[i]的子序列出现的个数
            
            for(int i=0; i<n; i++){
                //初始化
                f[i] = 1;
                t[i] = 1;
                
                for(int j=0; j<i; j++){
                    
                    if(nums[i] > nums[j]){
                        
                        if(f[j]+1 > f[i]){
                            f[i] = f[j]+1;
                            t[i] = t[j];
                        }
                        else if(f[j]+1 == f[i])
                            t[i] += t[j];
                    }    
                }
            }
            
            int result = 0, len = 0;
            
            for(int i=0; i<n; i++){
                if(f[i] > result){
                    result = f[i];
                    len = t[i];
                }
                else if(f[i] == result)
                    len += t[i];    //[2,2,2,2,2] output:5
                //cout<<f[i]<<" "<<len<<endl;
                    
            }
            
            return len;
        }
    };
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