【组合数学】不相邻问题

不相邻问题

链式不相邻问题

给定n颗小球，其中有m颗蓝色且其他状态相同小球，其余n-m颗为红色相同的小球。求一种线性排列使得任意两个蓝色小球不直接接触的方案总数？

分析

其中黄色区域为必须填入橘红色小球的区域，灰色区域为可填可不填区域。

换种理解角度，也就是说将m颗灰色小球变为蓝色，然后再取消掉剩余的灰色小球。

这里一共有n-m+1个灰色小球，所以答案为\(C_{n-m+1}^{m}\)

环形不相邻问题

有n个球排成一个环，从中取出m个不相邻的球，问有多少种解法。

分析

1. 思考角度一：先确定一个球必须选择为蓝色，则其两边的小球不能为蓝色。所以
   

进而我们可以将其余部分的小球转化为第一类问题——链式不相邻问题。

由于提前确定一个蓝球，于是剩下m-1个蓝球，同时也剩下n-m-2的橘红色的球。

\(C_{n-m-1}^{m-1}\)

2. 思考角度二：“1.”所确定的小球不为蓝色小球，这个角度为角度一的对立事件。

则可将该球直接断开

所以此时转化成一个链式不相邻问题。

一共有m个蓝球，n-m-1个橘红色的球的链式不相邻问题

于是有\(C_{n-m}^{m}\)种方案

于是总共有\(C_{n-m-1}^{m-1}+C_{n-m}^{m}\)种方案。