【HNOI】矩阵染色 数论

　　【题目描述】一个2*i的矩阵，一共有m种颜色，相邻两个格子颜色不能相同，m种颜色不必都用上，f[i]表示这个答案，求Σf[i]*(2*i)^m (1<=i<=n)%p。

　　【数据范围】

　　　　20% n,m<10^5 p<10^9

　　　　其余 n<10^9

　　　　　　其中40% m<100 p<10^9

　　　　　　　　20% m<10^3 p<10^9

　　　　　　　　20% m<10^4 p<10^3

　　首先我们可以推导出f[i]的式子，f[1]=m*(m-1)，因为其余的格子，我们第一个格子可以放m-1种颜色，第二个格子在第一个格子和上一层第二个格子颜色不同时有m-2种情况，相同时有m-1种情况，那么我们可以得出f[i]=f[i-1]*(m^2-3*m+3)，设a=m^2-3*m+3，那么问题就变成了求2^m*m*(m-1)/a*Σa^i*i^m (1<=i<=n)。

　　对于前20%的数据，我们可以暴力的nlogm递推求解。

　　对于中间的20%数据，我们可以化简一下求解式。

　　　　设w[i][j]为Σa^j*j^k (1<=j<=i)，那么答案就成了2^m*m*(m-1)/a*w[n][m]，现在的问题就是求解w[n][m]。

　　　　w[n][m]=Σa^i*i^m (1<=i<=n)，w[n+1][m]=Σa^i*i^m (1<=i<=n+1)=a+Σa^i*i^m (2<=i<=n+1)=a+a*Σa^i*(i+1)^m (1<=i<=n)

　　　　那么我们可以根据二项式展开来化简，w[n+1][m]=a+a*Σa^iΣc(m,j)*i^j (1<=i<=n) (0<=j<=m)=a+a*Σc(m,j)*w[n][j] (0<=j<=m)，那么这样我们就可以写一个矩阵来加速在n^3logn的时间内求解了。

　　对于m<10^3的情况，w[n+1][m]=w[n][m]+a^(n+1)*(i+1)^m。根据刚才的推导，w[n+1][m]=a+a*Σc(m,j)*w[n][j] (0<=j<=m)。所以我们可以得到

　　　　w[n][m]+a^(n+1)*(i+1)^m=a+a*Σc(m,j)*w[n][j] (0<=j<=m)，这样我们发现，如果我们知道了w[n][m]之前的w[n][j]，那么我们可以在m的时间内反解出w[n][j]。

　　对于最后的20%，我们发现p非常小，考虑答案的求和式Σa^i*i^m，发现这个式子之和i和i^m有关，当i,i^m和j,j^m关于mod p相等之后，那么i与j之后的变换是相同的，我们可以发现一共有p^2个不同的情况，那么我们记下来这个循环之后就可以算出来了。

//By BLADEVIL
#include <cstdio>
#define LL long long
#define maxp 1010
#define maxm 1010

using namespace std;

int n,m,p,a;
int mo[maxp],next[maxp],w[maxm],c[maxm][maxm];
int flag[maxp][maxp],f[maxp*maxp],g[maxp*maxp];

int mi(int a,int k) {
    int ans=1;
    while (k) {
        if (k&1) ans=((LL)ans*a)%p;
        a=((LL)a*a)%p;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}

void work1() {
    int ans=0;
    ans=((LL)m*(m-1))%p; ans=((LL)ans*mi(2,m))%p; 
    ans=((LL)ans*mi(a,p-2))%p; //printf("%d
",ans);
    int cur=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) cur=((LL)cur+(LL)mi(a,i)*mi(i,m))%p;
    ans=((LL)ans*cur)%p;
    printf("%d
",ans);
}

void work2() {
    int i,l,r; 
    f[1]=(LL)m*(m-1)%p; g[1]=(LL)f[1]*mi(2,m)%p;
    flag[1][f[1]]=1;
    for (i=2;i<=n;i++) {
        f[i]=(LL)f[i-1]*a%p;
        g[i]=(LL)f[i]*mi(2*i,m)%p;
        if (flag[i%p][f[i]]) {
            l=flag[i%p][f[i]];
            r=i-1;
            break;
        }
        flag[i%p][f[i]]=i;
    }
    //printf("%d %d %d %d
",l,r,i,g[i]);
    int len=r-l+1,ans=0,tmp=0;
    for (int j=1;j<l;j++) ans=(ans+g[j])%p;
    n-=l-1;
    for (int j=l;j<=r;j++) tmp=(tmp+g[j])%p;
    ans=(ans+(LL)tmp*(n/len)%p)%p;
    for (int j=1;j<=n%len;j++) ans=(ans+g[l+j-1])%p;
    printf("%d
",ans);
}

void work3() {
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        c[i][0]=c[i][i]=1;
        for (int j=1;j<i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%p;
    }
    int ans=0;
    ans=((LL)m*(m-1))%p; ans=((LL)ans*mi(2,m))%p; 
    ans=((LL)ans*mi(a,p-2))%p; //printf("%d
",ans);
    //for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d ",c[m][i]); printf("
");
    w[0]=((LL)mi(a,n+1)-a+p)%p; w[0]=((LL)w[0]*mi(a-1,p-2))%p;
    //printf("%d
",w[0]);
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        w[i]=((LL)mi(a,n+1)*mi(n+1,i)-a+p)%p;
        for (int j=0;j<i;j++) w[i]=((LL)w[i]-((LL)a*c[i][j]%p*w[j]%p)+p)%p;
        w[i]=(LL)w[i]*mi(a-1,p-2)%p;
        w[i]%=p;
    }
    //printf("%d
",w[m]);
    ans=((LL)ans*w[m])%p;
    printf("%d
",ans);
}

int main() {
    freopen("color.in","r",stdin); freopen("color.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    a=((LL)m*m-3*m+3)%p;
    if (n<=100000) work1(); else 
    if (m>1000) work2(); else work3();
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}