• 【杂题】[AGC034F] RNG and XOR【集合幂级数】【FWT】【DP】


    Description

    你有一个随机数生成器,它会以一定的概率生成[0,2^N-1]中的数,每一个数的概率是由序列A给定的,Pi=Ai/sum(Ai)

    现在有一个初始为0的数X,每一轮随机生成一个数v,将X变成X xor v
    求X变成0~2^N-1的期望轮数
    答案对998244353取模

    N<=18,Ai<=1000

    Solution

    不妨反过来做,f[i]为i到0的期望轮数,显然等价
    易得i>0,

    [f[i]=1+sum f[i xor j]p[j] ]

    1移到左边来

    [f[i]-1=sum f[i xor j]p[j] ]

    写成集合幂级数形式就是

    [(f[0],f[1],f[2],...,f[2^N-1])igoplus(p[0],p[1],p[2],...,p[2^N-1])=(?,f[1]-1,f[2]-1,...,f[2^N-1]) ]

    ?是因为f[0]不满足转移式

    但我们发现(sum p=1),也就是说卷积过后总和不变
    因此(? = f[0]+2^N-1)

    把p[0]-1,后面的f就全部消掉

    我们做一个逆卷积即可。
    具体来说,把等号右边FWT,乘上中间的FWT再每项逆元的结果,再IFWT回去。

    不行。
    我们发现中间集合幂级数的FWT后2^N-1 +(-1)+(-1)+…+(-1)这一项是0(容易证明只有这一项是0),对应的右边也是0,我们无法得到左边这一项的值。

    但我们忽略了一个信息,f[0]=0
    不妨先假定左边这一项就是0,IFWT回去以后看看f[0]差了多少,那就是这一项少贡献了多少,推回去就行了。

    时间复杂度O(2^N*N)

    Code

    #include <bits/stdc++.h>
    #define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
    #define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
    #define L 19
    #define M 262144
    const int mo=998244353;
    typedef long long LL;
    using namespace std;
    int n,m;
    int a[M+1],b[M+1];
    LL ksm(LL k,LL n)
    {
    	LL s=1;
    	for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo;
    	return s;
    }
    const LL ny2=499122177;
    void FWT(int *a,bool pd)
    {
    	for(int h=1;h<m;h<<=1)
    		for(int j=0;j<M;j+=h*2)
    			fo(i,0,h-1)
    			{
    				int v=a[i+j+h];
    				a[i+j+h]=(a[i+j]-v+mo)%mo,a[i+j]=(a[i+j]+v)%mo;
    				if(pd) a[i+j]=(LL)a[i+j]*ny2%mo,a[i+j+h]=(LL)a[i+j+h]*ny2%mo;
    			}
    }
    LL pr[M];
    int main()
    {
    	cin>>n;
    	m=1<<n;
    	LL sum=0;
    	fo(i,0,m-1) scanf("%lld",&pr[i]),sum=(sum+pr[i])%mo;
    	sum=ksm(sum,mo-2);
    	a[0]=m-1;
    	fo(i,1,m-1) a[i]=mo-1;
    	fo(i,0,m-1) b[i]=pr[i]*sum%mo;
    	b[0]=(b[0]-1+mo)%mo;
    	FWT(a,0),FWT(b,0);
    	int wz=0;
    	fo(i,0,m-1)
    	{
    		if(b[i]!=0) a[i]=(LL)a[i]*ksm(b[i],mo-2)%mo;
    		else a[i]=0,wz=i;
    	}
    	FWT(a,1);
    	LL wp=(LL)(mo-a[0])*m%mo;
    	FWT(a,0);
    	a[wz]=wp;
    	FWT(a,1);
    	fo(i,0,m-1) printf("%d
    ",a[i]);
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/BAJimH/p/11013065.html
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