Translation
有一个 (n imes n (1 leq n leq 10^6)) 的正方形网格，用红色，绿色，蓝色三种颜色染色，求有多少种染色方案使得至少一行或一列是同一种颜色。结果对 (998244353) 取模。(翻译来自洛谷)
Solution
发现直接求很困难，考虑用容斥简化问题。
发现约束条件「至少一行或一列是同一种颜色」是条件「对于任意 (i,j (i+j geq 1)) ，恰好 (i) 行 (j) 列是同一颜色」的并集。
设 (F(i,j)) 为满足条件「至少有 (i) 行 (j) 列是同一颜色」的答案，不难发现，该条件是上句话后者的一个交集。
根据容斥原理，答案能表示为：
[sum_{i=0}^nsum_{j=0}^n [i+jgeq 1] imes (-1)^{i+j+1} {nchoose i} {nchoose j} F(i,j)
]
根据基础组合数学知识 (F(i,j)) 的值为：
[F(i,j)=left{
egin{aligned}
& 3^i imes 3^{n(n-i)} & & j=0 \
& 3^j imes 3^{n(n-j)} & & i=0 \
& 3 imes 3^{(n-i)(n-j)} & & ext{otherwise}
end{aligned}
ight.
]
先考虑 (i = 0) 或 (j = 0) 的情况，直接套即可，答案为：
[2cdotsum_{i=1}^n (-1)^{i+1} {nchoose i} 3^i cdot 3^{n(n-i)}
]
复杂度 (mathcal{O}(n)) 。
然后是其他情况，暴力推式子：
[egin{aligned}
& sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n (-1)^{i+j+1} {nchoose i} {nchoose j} 3cdot 3^{(n-i)(n-j)} \
= & 3 cdot sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} {nchoose i} sum_{j=1}^n {nchoose j} (-1)^j (3^{n-i})^{n-j} \
= & 3 cdot sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} {nchoose i} [(3^{n-i}-1)^n - 3^{n(n-i)}]
end{aligned}]
（前置知识：二项式定理，求和顺序变换）
这样这一块是 (mathcal{O}(nlog_2 n)) 的。
Code(C++):
#include<bits/stdc++.h>
#define forn(i,s,t) for(register int i=(s);i<=(t);++i)
#define form(i,s,t) for(register int i=(s);i>=(t);--i)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6+3, Mod = 998244353;
inline LL q_pow(LL p, LL k) {
LL Ans = 1;
while(k) {
(k & 1) && (Ans = Ans * p %Mod);
p = 1ll * p * p %Mod;
k >>= 1;
}
return Ans;
}
LL fac[N], inv[N];
inline LL C(int n, int k) {
return 1ll * fac[n] * inv[k] %Mod * inv[n - k] %Mod;
}
int n; LL Ans, res, Pow3[N], Pown[N];
int main() {
cin >> n;
fac[0] = 1;
forn(i,1,n) fac[i] = 1ll * i * fac[i-1] %Mod;
inv[n] = q_pow(fac[n], Mod - 2);
form(i,n,1) inv[i-1] = 1ll * i * inv[i] %Mod;
Pow3[0] = 1;
forn(i,1,n) Pow3[i] = Pow3[i-1] * 3ll %Mod;
Pown[0] = 1;
forn(i,1,n) Pown[i] = Pow3[n] * Pown[i-1] %Mod;
forn(i,1,n) { // 情况 1
if(i & 1) Ans += C(n, i) * Pow3[i] %Mod * Pown[n-i] %Mod;
else Ans += Mod - C(n, i) * Pow3[i] %Mod * Pown[n-i] %Mod;
Ans %= Mod;
}
Ans = 2ll * Ans %Mod;
forn(i,1,n) { // 情况 2
if(i & 1) res += C(n, i) * (q_pow((Pow3[n-i] - 1), n) - Pown[n-i] + Mod) %Mod;
else res += Mod - C(n, i) * (q_pow((Pow3[n-i] - 1), n) - Pown[n-i] + Mod) %Mod;
res %= Mod;
}
res = 3ll * res %Mod;
printf("%d
", (Ans + res) %Mod);
return 0;
}