博弈结论小记
Nim: 亦或,0必败
阶梯Nim:奇数位置Nim
Moore’s Nimk:
n堆石子从k堆取,取不限量个。 有点像巴士博弈和Nim的合并。
结论:每个二进制位上所有堆的和,整除k+1,则必输,否则必胜。
反nim:
取走最后一个的输。
先手必胜当
- 每堆石子数均=1,有偶数堆。
- 至少一堆石子数>1,异或和( ot=0)
反Moore’s Nimk
也是取走最后一个输
先手必胜当
- 石子规模均为1,堆数mod(k+1) = 1
- 石子规模不全为1,存在二进制位其和其不整除(k+1)
威佐夫博弈
两堆石子,每次可以取一堆或两堆,从两堆中取得时候个数必须相同,先取完的获胜。
奇异局势先手必输,奇异局势有下性质:
-
任何自然数只在一个奇异局势里。
-
任意操作将奇异局势改变为非奇异局势
-
奇异局势((a_k,b_k),a_k=lfloor k frac{1+sqrt5}{2} floor,b_k=a_k+k)
谢谢Claris:
lasker's game:
若干堆石子,每次可以把一堆分成两堆非空石子 或者 从其中一堆拿走任意石子,不能操作的输
对于k>1 SG(4k)=4k-1 SG(4k+1)=4k+1 SG(4k+2)=4k+2 SG(4k+3)=4k+4
Take&Break Game
把一堆分成k堆,sg(i)=从小到大第i个2进制位里1的位置模k=1的数。//存疑,不过k=2是对的。